4.2.2 对数运算法则-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

4.2.2　对数运算法则 学习目标 1.通过本节课的学习,掌握对数的运算法则,能进行简单的对数运算.提升数学运算的核心素养. 2.通过对数换底公式的推导过程,了解对数的换底公式,能将一般对数转化为自然对数和常用对数,并能进行简单的化简、计算.进一步提升数学抽象与数学运算的核心素养. 1.对数的运算法则 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk(Ni>0,i=1,2,…,k). (2)loga=logaM-logaN. (3)logaMα=αlogaM(α∈R). 2.对数换底公式 logab=(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1). 特别地:logab·logba=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1). 思考:如何推导对数的换底公式? 答案:设logaN=t,则at=N,两边取以c为底的对数得logcat=logcN,所以t·logca=logcN,即t=,所以logaN=. (1)在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义,应避免出现lg(-5)2=2lg(-5)等形式的错误,同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用.譬如在常用对数中,lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2的运用. (2)对于底数相同的对数式的化简,常用的方法是: ①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数; ②“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差). (3)应用换底公式时,如果原式是几个对数的和,换底后,看能不能逆用性质;如果原式是几个对数的积,换底后,看能不能约分,进而化简对数式. (4)有条件的对数式求值流程: 　利用对数运算法则化简与求值 [例1] (1)计算lg 2+lg 5+2log510-log520的值为(　　) A.21 B.20 C.2 D.1 (2)lg 5(lg 8+lg 1000)+(lg )2+lg +lg 0.06=　　　　.  (3)lg -lg +lg =　　　　.  解析:(1)lg 2+lg 5+2log510-log520=1+log5=1+1=2.故选C. (2)原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2 =3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2 =3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2 =3lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=1. (3)lg -lg +lg =×(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(lg 5+2lg 7) =lg 2-lg 7-2lg 2+lg 5+lg 7 =lg 2+lg 5 =lg(2×5)=. 答案:(1)C　(2)1　(3) (1)对于同底数的对数式,化简的常用方法是: ①“收”,即逆用对数运算法则将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数,即把多个对数式转化为一个对数式. ②“拆”,即正用对数运算法则将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差). 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提下才成立的,不能出现log212=log2[(-3)×(-4)]=log2(-3)+log2(-4)的错误. (2)对常用对数的化简要创设情境,充分利用“lg 5+lg 2=1”来解题. (3)对含有多重对数符号的对数,应从内向外逐层化简. (4)当真数是形如“±”的式子时,常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”. 针对训练:求值:(1)log535-2log5+log57-log51.8; (2)(lg 5)2+lg 2lg 5+lg 2; (3). 解:(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5 =log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55 =2. (2)原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2 =lg 5×lg 10+lg 2 =lg 5+lg 2 =lg 10 =1. (3)原式===1. [备用例1] 求值:(1)lg 8+log39+lg 125+log3; (2)[log2(log216)](2log36-log34); (3)()3-45×2-11. 解:(1)原式=lg 8+lg 125+log39+log3 =lg(8×125)+log3(9×) =lg 1 000+log31 =3+0 =3. (2)原式=(log24)(log336-log34) =2log3 =2log39 =4. (3)原式=()3-210×2-11 =()3-2-1 =-1- =-. 　换底公式 [例2] (1)设log34·log48·log8m=lo