4.2.1 对数运算-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

4.2　对数与对数函数 4.2.1　对数运算 学习目标 1.通过对数定义及相关概念的学习,理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化,理解对数的底数和真数的取值范围,培养数学抽象的核心素养. 2.通过对数性质的学习,掌握对数的基本性质及对数恒等式,培养数学运算的核心素养. 1.对数的定义及相关概念 在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的对数,记作b=logaN,其中,a称为对数的底数,N称为对数的真数. 思考1:对数式logaN=b中字母的取值范围是什么? 答案:(1)b∈R;(2)N>0;(3)a>0,且a≠1. 思考2:指数与对数有何关系? 答案:指数与对数的关系:ax=N(a>0,a≠1)⇔x=loga N. 2.对数恒等式与对数的基本性质 (1)对数恒等式:=N. (2)对数的基本性质: 性质1 负数和零没有对数 性质2 1的对数是0,即loga1=0(a>0,且a≠1) 性质3 底的对数是1,即logaa=1(a>0,且a≠1) 3.常用对数与自然对数 以10为底的对数称为常用对数,以e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数,log10N可简写为lg N,logeN可简写为ln N. (1)为什么规定a>0,且a≠1呢? a<0 当N为某些值时,b的值不存在.如:b=log(-2)8不存在 a=0 N≠0 b的值不存在.如:log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在 N=0 b可以是除零以外的任意实数,是不唯一的,即log00有无数个值 a=1 N≠1 b的值不存在.如:log13不存在 N=1 b可以为任意实数,是不唯一的,即log11有无数个值 因此规定a>0,且a≠1.本书中,若不加特殊说明,类似的对数表达式中,总是认为a>0,且a≠1,N∈(0,+∞). (2)为什么零和负数没有对数? 因为当a>0,且a≠1时,b=logaN的充要条件是ab=N,而a>0,且a≠1时,ab恒大于0,即N>0,所以零和负数没有对数. 　对数的概念 [例1] (1)若对数式log(2a-1)(6-2a)有意义,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,3) B.(,3) C.(,1)∪(1,+∞) D.(,1)∪(1,3) (2)(2021·广东佛山月考)若log(x-2)(x2-7x+13)=0,则x的值为　　　　.  解析:(1)由题意,得⇒ ⇒<a<3,且a≠1.故选D. (2)因为log(x-2)(x2-7x+13)=0, 所以 即解得x=4. 故所求x的值为4. 答案:(1)D　(2)4 求解对数形式的表达式中字母的范围的方法: 寻找对数式各部分应满足的条件,一般根据对数的概念(底数大于0且不等于1,真数大于0),列出不等式(组),从而求得对数式中字母的取值范围. 针对训练:已知对数式log(a+1)(a∈Z)有意义,则a的取值范围为(　　) A.(-1,4) B.(-1,0)∪(0,4) C.{1,2,3} D.{0,1,2,3} 解析:要使对数式log(a+1)(a∈Z)有意义,必须满足解得-1<a<0或0<a<4,又a∈Z.故a=1或a=2或a=3. 所以a的取值范围为{1,2,3}.故选C. 　对数式与指数式的互化 [例2] 将下列指数式与对数式互化. (1)log216=4; (2)lo27=-3; (3)ln 10≈2.303; (4)3-2=; (5)10-3=0.001. 解:(1)24=16. (2)()-3=27. (3)e2.303≈10. (4)log3=-2. (5)lg 0.001=-3. (1)指数式与对数式的互化互为逆运算,在利用ax=N⇔logaN=x(a>0且a≠1,N>0)互化时,要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置. (2)在对数式、指数式的互化求值时,要注意灵活运用指数的定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化. 针对训练:将下列的对数式化为指数式或将指数式化为对数式: (1)43=64;(2)logx3=2;(3)en=m;(4)lg 1000=3;(5)lo8=-3. 解:(1)因为43=64,所以log464=3. (2)因为logx3=2,所以x2=3. (3)因为en=m,所以ln m=n. (4)因为lg 1 000=3,所以103=1 000. (5)因为lo8=-3,所以()-3=8. 　对数恒等式与对数性质的应用 [例3] 求下列各式中x的值: (1)log3(log2x)=0; (2)log2(lg x)=1; (3)=x. 解:(1)因为log3(log2x)=0, 所