4.1.2 指数函数的性质与图像-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

4.1.2　指数函数的性质与图像 学习目标 1.通过理解指数函数的概念和意义,了解指数函数的实际背景,掌握指数函数的性质与图像,发展数学抽象的核心素养. 2.通过指数函数的实际应用,初步学会运用指数函数来解决问题,提升数学建模的核心素养. 3.通过例题熟练掌握指数函数的图像、性质.进一步深入理解指数函数的单调性及其应用,提升逻辑推理、数学运算及数学抽象的核心素养. 1.指数函数的定义 一般地,函数y=ax称为指数函数,其中a是常数,a>0且a≠1. 做一做:若函数f(x)=(b-1)·ax是指数函数,且f(2)=2,则b=　　　　,f(x)=　　　　.  解析:因为f(x)为指数函数,所以b-1=1,即b=2.又因为f(2)=2,可得a=,所以f(x)=()x. 答案:2　()x 2.指数函数的图像和性质 底数a a>1 0<a<1 图像 性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点 (0,1) 函数值 的变化 当x>0时, y>1; 当x<0时, 0<y<1 当x>0时, 0<y<1; 当x<0时, y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 思考1:指数函数中底数a的取值影响着图像的变化特点,具体有哪些影响呢? 答案:(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升降”:当a>1时,指数函数的图像“上升”;当0<a<1时,指数函数的图像“下降”. (2)底数的大小决定了图像相对位置的高低:不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内,底数越大,函数图像越高.简记为:y轴右侧,底大图高. 思考2:函数f(x)=ax-1+2(a>0且a≠1)的图像过哪一定点呢? 答案:法一　(平移法)因为y=ax的图像过定点(0,1),所以将函数y=ax的图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到y=ax-1+2的图像,此时函数f(x)=ax-1+2(a>0且a≠1)的图像过定点(1,3). 法二　(解方程法)在f(x)=ax-1+2中,令x-1=0,即x=1,则f(x)=3,所以函数f(x)=ax-1+2(a>0且a≠1)的图像过定点(1,3). 思考3:形如ab的大小比较有哪些方法? 答案:(1)单调性法:当两个数的底数相同或能够化成底数相同时,可以构造指数函数,利用指数函数的单调性进行判断,但当底数不确定时,需分类讨论,如a>0,比较a-1.3与a-1.4的大小,需讨论a与1的大小. (2)中间值法:当两个数的底数不同时,可利用找中间值的方法进行判断,如1.50.3与0.81.2,可借助于1比较大小. (3)作商比较法:如0<b<a<1,c>0,比较ac与bc的大小,可采取作商比较它与1的大小. 　指数函数的概念及应用 [例1] (1)在①y=4x,②y=x4,③y=-4x,④y=(-4)x,⑤y=()x中,y是x的指数函数的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知函数f(x)=(a2-3a+3)(2a-1)x是指数函数,则实数a=　　　　.  (3)指数函数y=f(x)的图像经过点(m,3),则f(0)+f(-m)=　　　　.  解析:(1)根据指数函数的概念,知①⑤中的函数是指数函数;②中底数不是常数,指数不是自变量,所以不是指数函数;③中4x的系数是-1,所以不是指数函数;④中底数-4<0,所以不是指数函数.故选B. (2)由指数函数的概念,得a2-3a+3=1,解得a=1或a=2,又因为解得a>,且a≠1,所以实数a的值为2. (3)设f(x)=ax(a>0,且a≠1), 所以f(0)=a0=1, f(m)=am=3, 所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+=. 答案:(1)B　(2)2　(3) 判断一个函数是不是指数函数,关键是看解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构形式,即ax的系数是1,指数是x且x的系数为1. 针对训练:(1)若函数f(x)=(a-3)·ax是指数函数,则 f() 的值为(　　) A.2 B.-2 C.-2 D.2 (2)指数函数f(x)=(k+2)ax+2-b(a>0且a≠1)的图像过点(1,2),则f(b-k)=　　　　.  解析:(1)因为函数f(x)是指数函数, 所以a-3=1,即a=8, 所以f(x)=8x,f()==2. 故选D. (2)由题意可知所以k=-1,b=2. 所以f(x)=ax,代入点(1,2)得a=2, 即f(x)=2x, 所以f(b-k)=f(3)=23=8. 答案:(1)D　(2)8 　指数型函数的定义域、值域 [例2] 求下列函数的定义域、值域. (1)y=4x-2x+1; (2)y=. 解:(1)函数的定义域为R, y=(2x)2-2x+1=(2x-)2+, 因为2x