4.1.1 实数指数幂及其运算-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

4.1　指数与指数函数 4.1.1　实数指数幂及其运算 学习目标 1.通过学习n次方根、n次根式的概念及有理数指数幂的含义,理解n次方根、n次根式的概念,能正确运用根式运算性质化简求值,提升数学抽象的核心素养. 2.通过根式运算性质、有理指数幂运算法则的应用,理解有理指数幂的含义,能正确运用其运算法则进行化简、计算,提升数学运算的核心素养. 3.通过学习无理指数幂,理解无理指数幂,了解指数幂的拓展过程,提升数学抽象的核心素养. 4.通过实数指数幂运算法则的应用,掌握实数指数幂的运算法则,提升数学运算的核心素养. 1.整数指数幂 an=,an叫作a的n次幂,a叫作幂的底数,n叫作幂的指数 a0=1(a≠0); a-n=(a≠0,n∈N+) 2.根式的相关概念及性质 (1)n次方根: 一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则x称为a的n次方根. (2)a的n次方根的表示: n的奇偶性 a的n次方根的表示 a的取值范围 n为奇数 a∈R n为偶数 ± [0,+∞) 0的任意正整数次方根均为0,记为=0.负数的偶次方根在实数范围内不存在,即当a<0且n为偶数时,在实数范围内没有意义. (3)根式:当有意义时,称为根式,n称为根指数,a称为被开方数. (4)根式的性质: ①()n=a. ②当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|. 思考:根式的符号如何确定? 答案:根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定: (1)当n为偶数,a≥0时,为非负实数; (2)当n为奇数时,的符号与a的符号一致,a>0时,>0;a=0时,=0;a<0时,<0. 3.分数指数幂及其意义 正分数 指数幂 ①=(有意义), ②=()m=(m,n∈N+,且为既约分数) 负分数 指数幂 =(m,n∈N+,且为既约分数) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 如果没有“为既约分数”这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾.例如:中,底数a∈R,当a<0时,<0,而如果把写成,则有两种运算:一种是=()2,就必须a≥0;另一种是=(a2,在a<0时,的结果大于0,与<0相矛盾,所以规定分数指数中的分数都是既约分数. 4.有理指数幂的运算性质 若a>0,b>0,则对任意有理数m,n,指数运算有以下性质: (1)am·an=am+n; (2)(am)n=amn; (3)(ab)n=anbn. 5.无理指数幂 无理指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数,有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用. 在进行根式、分数指数幂的运算时,要特别注意其使用的条件,否则容易导致错误.如=成立的条件是 a>0,初学者最容易忽视条件导致错误.如经常出现如下的错误:(-1=(-1==1;=x-y. 　根式与分数指数幂的互化 [例1] (1)若(x-2有意义,则实数x的取值范围是(　　) A.[2,+∞) B.(-∞,2] C.(2,+∞) D.(-∞,2) (2)(2022·陕西延安期中)下列关系式中,根式与分数指数幂的互化正确的是　　　　.(填序号)  ①-=(-x(x>0); ②=(y<0); ③=(x>0); ④=-(x≠0); ⑤=(a>0). 解析:(1)由负分数指数幂的意义可知, (x-2=,所以x-2>0,即x>2, 因此x的取值范围是(2,+∞).故选C. (2) ① × -=-,故①错误. ② × 当y<0时,>0,<0,故②错误. ③ √ ==(x>0),故③正确. ④ × =(x≠0),故④错误. ⑤ √ ===(a>0),故⑤正确. 答案:(1)C　(2)③⑤ 根式与分数指数幂互化的规律: (1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子. (2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理指数幂的运算性质解题. 提醒:在根式与分数指数幂的互化过程中,一定要明确字母的取值范围,以免出错. 针对训练:用分数指数幂表示下列各式. (1)8; (2)a2·; (3)(a>0). 解:(1)原式=23×==. (2)原式=a2·==. (3)原式=== ==. 　根式、分数指数幂的化简与求值 [例2] 计算、化简下列各式. (1)(2)0.5+0.1-2+(2+3π0+; (2); (3)0.025 -[()-2.6]0+(×(2-160.75; (4)(x>0,y>0). 解:(1)原式=()0.5+()-2+(+3+ =+100++3+ =+103 =+103 =3+103=106. (2)原式=52×××==. (3)原式=2.5-1+×-23=1.5+-23=1