4.5 增长速度的比较-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

4.5　增长速度的比较 数学 学习目标 1.通过平均变化率的学习,理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义,提升数学建模的核心素养. 2.通过三种不同增长的函数模型差异的学习,理解同一函数在不同区间的增长变化趋势及不同函数在相同区间的增长变化趋势,培养逻辑推理的核心 素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 之比 快慢 2.几类不同增长的函数模型 (1)一次函数模型 一次函数模型y=kx(k>0)的增长特点是 ,其增长速度 . 直线上升 不变 数学 (2)指数函数模型 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度 ,即增长速度 ,形象地称为“ ”. (3)对数函数模型 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度越来越平缓. (4)幂函数模型 当x>0,n>1时,幂函数y=xn是增函数,且当x>1时,n越大其函数值的增长速度就越快. 越来越快 越来越快 爆炸式增长 数学 拓展总结 指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较 　　函数 性质　　 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞) 上的单 调性 单调递增,且a越大,增长越快 单调递增,且a越小,增长越快 单调递增,且x>1时, n越大增长越快 增长速度 越来越快 越来越慢 —— 图像的 变化 随x的增大图像越来越陡 随x的增大图像逐渐变平缓 图像走势与n值有关 数学 选取上述三个增长函数模型时,应注意: (1)当描述增长速度越来越快时,常常选用指数函数模型. (2)当描述函数值不断增长,但不会增长到很大,增长速度不会越来越快 时,常常选用对数函数模型. (3)幂函数模型y=xn(n>0)可以描述增长速度不同的变化,当0<n<1时,增长速度越来越慢;当n=1时,增长速度不变;当n>1时,增长速度越来越快. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 平均变化率的运算及其比较 [例1] 若函数f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3在[0,1]上的平均变化率分别记为m1,m2,m3,则下列结论正确的是(　　) A.m1=m2=m3 B.m1>m2>m3 C.m2>m1>m3 D.m1<m2<m3 数学 方法总结 平均变化率的大小比较的步骤: (2)平均变化率化简后比较大小. 数学 针对训练:函数y=f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率为2,则t=　　　. 答案:5 数学 探究点二 同一函数在不同区间内的变化趋势 [例2] 巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,在当地有用“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬泰山十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看,为什么? 数学 数学 方法总结 根据平均变化率的定义式求出平均变化率做出比较. 数学 针对训练:路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m的人以 84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯. (1)求身影的长度y与人和路灯的距离x之间的关系式; 数学 针对训练:路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m的人以 84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯. (2)分析人离开路灯的第一个10 s内和第二个10 s内身影的变化哪个更快. 数学 探究点三 函数的平均变化趋势与图像的确立 [例3] 高为H,满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示,其底部碰了一个小 洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为h时水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图像是(　　) 数学 解析:当h=H时,体积是V0,故排除A,C.h由0到H变化的过程中,V的变化开始时增长速度越来越快,类似于指数型函数的图像,后来增长速度越来越慢,类似于对数型函数的图像,综合分析可知B正确.故选B. 数学 方法总结 正确分析函数图像的关键是要关注所给实际情景在不同区间上的平均变化趋势,对函数图像定性分析从快速增长、匀速增长、缓慢增长的几种变化趋势中筛选相应变化趋势,构造函数曲线模型. 数学 针对训练:如图,四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图像表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 数学 解析:将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水