4.4 幂函数-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

4.4　幂函数 数学 学习目标 1.通过幂函数概念与图像的学习,掌握幂函数的概念、图像和性质.培养数学抽象的核心素养. 3.通过幂函数性质的学习,能利用幂函数的图像与性质解决综合问题,提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 (0,+∞) 1.幂函数的概念 一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数. 思考1:幂函数y=xα与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)有什么样的区别? 答案:幂函数y=xα的底数为自变量,指数是常数,而指数函数y=ax(a>0,且a≠1)正好相反,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)中,底数是常数,指数是自变量. 2.幂函数y=xα图像与性质的共同特征 (1)所有的幂函数在区间 上都有定义,因此在第 象限内都有图像,并且图像都通过点 . 一 (1,1) 数学 (2)如果α>0,则幂函数的图像通过 ,并且在区间[0,+∞)上是 函数. (3)如果α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是 函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图像在 轴右方且无限地逼近 轴;当x无限增大时,图像在 轴上方且无限地逼近 轴. 思考2:幂函数的图像能出现在第四象限吗? 答案:不能.由幂函数的解析式y=xα,知当x>0时,y=xα>0,所以幂函数的图像不经过第四象限. 原点 增 减 y y x x 数学 3.五个常见幂函数的图像及性质 (1)图像 数学 (2)五个常见幂函数的性质 数学 拓展总结 对幂函数的性质的补充说明 1.定义域:在(0,+∞)上都有定义,定义域与α的取值有关,要保证函数解析式有意义. 具体如下: 数学 2.幂函数y=xα(α∈R)奇偶性的判断方法 数学 师生互动·合作探究 探究点一 幂函数的概念 [例1] (1)在函数y=x-2,y=2x2,y=(x+1)2,y=3x中,幂函数的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:(1)根据幂函数定义可知,只有y=x-2是幂函数.故选B. 答案:(1)B 数学 (2)已知函数f(x)=lg(m2+6)·xm(x∈R)为幂函数,则f(3)=　　　　.  解析:(2)因为函数f(x)=lg(m2+6)·xm(x∈R)为幂函数,则lg(m2+6)=1, 即lg(m2+6)=lg 10, 解得m=±2. 又函数的定义域为R, 故m=2,则f(x)=x2, 得f(3)=9. 答案:(2)9 数学 方法总结 只有形如y=xα(其中α为任意实数,x为自变量)的函数才是幂函数,否则就不是幂函数.判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,且①指数为常数,②底数为自变量,③底数前面的系数 为1. 数学 A.-1≤m≤2 B.m=1或m=2 C.m=2 D.m=1 答案:(1)D 数学 答案:(2)4 数学 答案:f(x)=x-1 [备用例1] 已知幂函数f(x)=(m∈Z)的图像与x轴,y轴都无交点,则函数f(x)的解析式是　　 　　.  解析:因为函数的图像与x轴,y轴都无交点, 所以m2-1<0, 解得-1<m<1.因为m∈Z, 所以m=0, 所以f(x)=x-1. 数学 探究点二 幂函数的图像和性质 数学 数学 方法总结 幂函数y=xα图像比较复杂,可从如下几个方面去考虑作其草图:(1)在第一象限的图像大致形状与位置:当α<0时,其图像为双曲线型,过点(1,1),但不过(0,0)点,其形状如曲线①所示;当0<α<1时,其图像为抛物线型,过(0,0),(1,1)两点,其形状如曲线②所示;当α=1时,其图像为直线,如直线③所示;当α>1时,图像为抛物线型,过(0,0),(1,1)两点,其形状如曲线④所示. 数学 (2)图像在第一象限的排列情况:在x=1的右侧,沿箭头的方向,幂指数逐渐减小,如图. 数学 针对训练:(多选题)函数y=ax与y=xa的图像如图所示,则实数a的值可能是 (　　) 解析:显然a>0.由y=ax>0知,①是函数y=ax的图像,②是函数y=xa的图像.由函数y=ax的图像可知,0<a<1,排除A,B.由②知,函数y=xa在x<0时有意义,所以C,D正确.故选CD. 数学 探究点三 幂值的大小比较 [例3] 比较下列各组数的大小. (1)1.10.1,1.20.1; 解:(1)由于要比较的两个数的指数相同,考查函数y=x0.1的单调性,它在第一象限内单调递增, 又因为1.1<1.2, 所以1.10.1<1.20.1. 数学 [例3] 比较下列各组数的大小. (2)0.24-0.2,0.25-0.2; 解:(2)由于要