6.2.3 向量的数乘运算-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.2.3　向量的数乘运算 知识点归纳 一、向量的数乘运算 1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝ . ②当λ>0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ<0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ＝0时，λa＝ . 2.数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，则有： ①λ(μa)＝ ； ②(λ＋μ)a＝ ； ③λ(a＋b)＝ . 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 3.向量的线性运算 向量的 运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ . 提示：(1)若λa＝0，则λ＝0或a＝0； (2)当a≠0时，向量是与向量a同向的单位向量. 二、向量共线定理 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 . 提示：向量共线定理中规定a≠0的原因 (1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线； (2)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线； (3)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与有唯一一个实数λ矛盾. 题型演练 题型一　向量的线性运算 例1 (1)化简的结果是(　　) A.2a－b B.2b－a C.b－a D.a－b (2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝________. 小结　1.向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段. 2.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算. 变式1 (1)3(6a＋b)－9＝________； (2)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________. 题型二　向量共线的判定及应用 例2设两个非零向量a与b不共线. (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 小结　1.要判定A，B，C三点是否共线， (1)只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等). (2)必须说明构造的两个向量与有公共点. 2.利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值. 变式2 设a，b是不共线的两个非零向量. (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值. 题型三　用已知向量表示其他向量 例3 如图所示，已知＝，用，表示. 小结　1.用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何中的有关定理，将所求向量反复分解，直到可以用已知向量表示，其实质是向量的线性运算的应用. 2.若直接表示向量较困难时，可考虑设出未知向量，表示已知向量，建立向量的等量关系，求解关于所求量的方程. 变式3 如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b表示和. 总结 1.重要思想与方法 (1)推导向量的数乘运算过程中应用了数形结合的思想方法. (2)证明三点共线问题常转化为向量共线，应用向量共线定理解决. (3)已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线⇔m＋n＝1. 2.易错易混点提醒 利用向量共线定理时，要注意其中的条件是a≠0，应用其解决共线问题要注意向量共线与三点共线的区别. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．（2023下·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）在中，点为边的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）已知中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（    ） A．与的方向相同 B．与的方向相反 C． D． 4．（2023下·宁夏银川·高一校考阶段练习）在中，角A的角平分线交于点D，且，则等于（    ） A． B． C．