第二章 等式与不等式 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

章末总结 数学 网络建构 数学 知识辨析 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”. 1.x4-y4=(x-y)(x+y)(x2+y2).(　 　) √ × √ 4.如果a>b,那么ac>bc.(　 　) × × 6.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根m,n(m<n),则不等式ax2+bx+c<0的解集为(m,n).(　 　) × × × 数学 题型归纳·素养提升 真题体验·素养落地 数学 题型归纳·素养提升 题型一 十字相乘法因式分解 [典例1] 把下列各式因式分解: (1)a2-7a+6; 解:(1)原式=(a-1)(a-6). (2)8x2+6x-35; 解:(2)原式=(2x+5)(4x-7). (3)18x2-21x+5; 解:(3)原式=(6x-5)(3x-1). 数学 [典例1] 把下列各式因式分解: (4)20-9y-20y2; 解:(4)原式=-(20y2+9y-20)=-(4y+5)(5y-4). (5)2x2+3x+1; 解:(5)原式=(2x+1)(x+1). (6)2y2+y-6; 解:(6)原式=(y+2)(2y-3). 数学 [典例1] 把下列各式因式分解: (7)6y2+19y+10; 解:(7)原式=(2y+5)(3y+2). (8)2x2-5xy+2y2. 解:(8)原式=(x-2y)(2x-y). 数学 规律方法 (1)注意下列公式的应用 ①平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2; ②完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2; ③立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3; ④立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3; ⑤三数和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac); ⑥两数和立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; ⑦两数差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3. (2)因式分解的主要方法有十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法. 数学 一元二次方程根与系数的关系 题型二 [典例2] (1)已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0. ①求证:不论m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根; (1)①证明:Δ=(4m+1)2-4(2m-1)=16m2+5>0, 所以不论m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根. 数学 (2)设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值. ②(x1-x2)2; 数学 (2)设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值. 数学 规律方法 ③(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2. 数学 题型三 不等式的性质及应用 [典例3] (1)下列命题正确的是(　　) A.若a>b,则ac>bc B.若a>b,则ac2>bc2 C.若a>b,则a3>b3 D.若a>b,则a2>b2 解析:(1)由a>b,c=0,可得ac=bc,ac2=bc2,故A,B错; 由y=x3在R上单调递增,可得a>b, 即有a3>b3,故C对; 由a=1,b=-1,得a2=b2,故D错.故选C. 数学 数学 规律方法 (1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质. (2)比较大小的四种常用方法:作差法、作商法、单调性法和特殊值验证法. 数学 题型四 一元二次不等式的解法 [典例4] 解关于x的不等式: (1)-4x2+4x+3>0; 数学 [典例4] 解关于x的不等式: (2)12x2-ax>a2(a∈R). 数学 数学 规律方法 (1)解决二次问题的关键:一是充分利用数形结合;二是熟练进行因式分解. (2)应善于把分式不等式转化为整式不等式. (3)对含参的不等式,应合理地对参数进行分类讨论.讨论依据是:首先对二次项系数的正、负及零进行分类,当二次项系数为负时转化为二次项系数为正.其次根据判别式Δ判断根的个数.当方程有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论,从而确定不等式的解集. 数学 题型五 探究不等式恒成立的问题 [典例5] 已知y=x2+2(a-2)x+4. (1)如果对一切x∈R,y>0恒成立,求实数a的取值范围; 解:(1)由题意可知,只有当二次函数y=x2+2(a-2)x+4的图像与平面直角坐标系中的x轴无交点时,才满足题意, 则其相应方程x2+2(a-2)x+4=0此时应满足Δ<0,即4(a-2)2-16<0,解得0<a<4. 故a的取值范围是{a|0<a<4}. 数学 [典例5] 已知y=x2+2(a-2)x+4. (2)若对任意a∈[-3,1],y<0恒成立,试求x的取值范围. 数学 规律方法