3.1.1 第一课时 函数的概念-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

第三章　函数 3.1　函数的概念与性质 3.1.1　函数及其表示方法 第一课时　函数的概念 数学 学习目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念;体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.通过学习函数的概念,培养数学抽象素养. 2.了解构成函数的要素及同一个函数的概念,能求简单函数的定义域和值域.借助函数定义域与值域的求解,培养数学运算素养;借助f(x)与f(a)的关系,提升逻辑推理素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.函数的概念 一般地,给定两个 A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的 实数x,在集合B中都有 实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x称为自变量,y称为因变量,自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域,所有函数值组成的集合{y∈B|y=f(x),x∈A}称为函数的值域. 非空实数集 每一个 唯一确定的 数学 思考1:如何判断一个对应关系是否是函数,要从哪些方面去判断? 答案:①集合A,B都是非空数集;②集合A中的元素无剩余性,即A中任何一个元素在B中必须有且必有唯一元素与其对应;③集合B中元素的可剩余性,即集合B不一定是函数的值域,函数的值域一定是B的子集. 2.同一个函数 一般地,如果两个函数表达式表示的函数 相同, 也相同(即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数. 定义域 对应关系 数学 思考2:如何判断两个函数是同一个函数? 答案:判断两个函数f(x)和g(x)是否是同一个函数的方法:先求函数f(x)和g(x)的定义域,如果定义域不同,那么它们不是同一个函数;如果定义域相同,再化简函数的表达式,如果化简后的函数表达式相同,那么它们是同一个函数,否则它们不是同一个函数. 数学 拓展总结 对函数概念的理解 (1)A,B都是非空实数集,因此定义域或值域为空集的函数不存在. (2)集合A就是定义域,因为给定A中的每一个x值都有唯一的y值与之对应. (3)集合B不一定是函数的值域,即B中的元素可以没有与之对应者,若将函数的值域记为C,容易得到C⊆B. (4)符号“y=f(x)”表示“x对应的函数值”,f表示对应关系. (5)“f(x)”是一个整体,不可分开,也不能理解成“f·x”. 数学 (6)f(a)(a∈A)与f(x)的区别与联系:f(a)表示当x=a时的函数值,是值域内的一个数值,是常量;f(x)表示自变量为x的函数,表示的是变量.例如, f(x)=2x表示函数;当x=3时,f(3)=6,是一个常量. (7)函数的概念中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A中的任意一个(任意性)数x,在非空实数集B中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的实数y和它对应,这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 [例1] 判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数. 函数关系的判断 解:(1)对于A中的元素0,在f的作用下得0,但0不属于B,即A中的元素0在B中没有元素与之对应,所以不是函数. (1)A=N,B=N*,f:对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应; 解:(2)对于A中的元素±1,在f的作用下与B中的1对应,A中的元素±2,在f的作用下与B中的4对应,所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应,是“多对一”的对应,故是函数. (2)A={-1,1,2,-2},B={1,2,4},f:x→y=x2,x∈A,y∈B; 数学 (3)A={三角形},B={x|x>0},f:对A中元素求面积与B中元素对应. [例1] 判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数. 解:(3)集合A不是数集,故不是函数. 数学 方法总结 判断对应关系是否为函数,主要从三个方面去判断 (1)A,B必须是非空实数集; (2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应; (3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一. 数学 针对训练:下列对应是从集合A到集合B的函数的是(　　) 解析:选项A中,x=0时,集合B中没有元素与之对应;选项B中,当x=1时,绝对值|x-1|=0,集合B中没有元素与之对应;选项C正确;选项D中,当x为负数时,B中没有元素与之对应. 故选C. 数学 [备用例1] (1)判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数. ①A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; 解:(1)①A中的元素0在B中没有对应元素,故不是集合A到