2.2.4 均值不等式及其应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

2.2.4　均值不等式及其应用 数学 学习目标 1.掌握均值不等式,明确均值不等式成立的条件.通过不等式的证明,培养逻辑推理素养. 2.会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小.通过均值不等式形式求简单的最值问题,提升数学运算素养. 3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.通过均值不等式求最值,提升数学运算素养. 4.会用均值不等式求解实际应用题.借助均值不等式在实际问题中的应用,培养数学建模素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 算术平均值 几何平均值 均值不等式也称为基本不等式(基本不等式中的a,b还可以为零),其实质是:两个正实数的算术平均值 它们的几何平均值. 重要不等式:当a,b是任意实数时,有a2+b2≥ ,当且仅当 时,等号成立. a=b 不小于 2ab a=b 数学 思考1:均值不等式中的a,b只能是具体的某个数吗? 答案:a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式. 思考2:均值不等式成立的条件“a,b>0”能省略吗?请举例说明. 数学 拓展总结 数学 师生互动·合作探究 探究点一 利用均值不等式求最值 数学 数学 数学 方法总结 (1)利用均值不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,即 ②二定:化不等式的一边为定值; ③三相等:必须存在取“=”的条件,即“=”成立. 以上三点缺一不可. (2)若是求“和”式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求“积”式的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式. 数学 针对训练:(1)已知ab=100,且a>0,b>0,求a+b的最小值; (2)已知x>0,y>0,且2x+3y=6,求xy的最大值; 数学 数学 [备用例题] (1)已知正实数x,y满足2x+y+6=xy,求xy的最小值; 数学 (2)已知实数x,y满足x2+y2+xy=1,求x+y的最大值. 数学 探究点二 利用均值不等式证明不等式 [例2] 已知a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. 证明:由均值不等式可得a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2, 同理b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2a2c2, 所以(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2b2c2+2a2c2, 从而a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.(当且仅当a2=b2=c2时,等号成立) 数学 方法总结 (1)利用均值不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果. (2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到. 数学 数学 探究点三 均值不等式的实际应用 数学 数学 方法总结 在应用均值不等式解决实际问题时,应把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;在自变量有意义的前提下 ,求出函数的最大值或最小值;根据实际背景写出答案. 数学 针对训练:如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围36 m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大? 数学 针对训练:如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成. (2)若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小? 数学 数学 易错辨析——因忽略均值不等式等号成立的条件而致误 学海拾贝 数学 纠错:解答本题两次利用均值不等式,但它们等号成立的条件不同,一个是a=b,另一个是b=4a,这显然是不能同时成立的,故不正确. 数学 当堂检测 C 数学 B 数学 C 数学 答案:2 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a,b,数称为a,b的 ;数称为a,b的 . 2.均值不等式 如果a,b都是正数,那么≥,当且仅当 时,等号成立. 答案:不能,如≥是不成立的. (1)均值不等式的变形:ab≤()2,a+b≥2(其中a>0,b>0,当且仅当a=b时,等号成立). (2)均值不等式成立的条件:a>0,且b>0;其中等号成立的条件:当且仅当a=b时,取等号,即若a≠b时,则≠,即只能有<. [例1] (1)已知m,n>0,且m+n=16,求mn的最大值; 解:(1)因为m,n>0,且m+n=16, 所以由均值不等式可得mn≤()2=()2=64, 当且仅当m=n=8时,mn取到最大值64. 所以mn的最大值为32. (2)已