2.2.3 一元二次不等式的解法-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

2.2.3　一元二次不等式的解法 数学 学习目标 1.理解一元二次不等式的定义.借助一元二次不等式的概念,培养数学抽象核心素养. 2.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式.通过学习一元二次不等式的解法,提升数学运算核心素养. 3.了解简单的分式不等式,并会求其解集.借助简单分式不等式的解法,培养逻辑推理核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.一元二次不等式的概念 一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为 ,其中a,b,c是常数,而且 .一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≤”“≥”等. a≠0 一元二次不等式 答案:(1)不是,一元二次不等式一定为整式不等式. (2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗? 答案:(2)不可以,若a=0,就不是二次不等式了. 数学 2.用因式分解法解一元二次不等式 一般地,如果x1<x2,则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是 ,不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是 . (x1,x2) (-∞,x1)∪(x2,+∞) 3.用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2< k的形式,再由k值情况,可得原不等式的解集如表. 数学 思考2:(1)关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R,a,b,c满足的条件是什么? 数学 数学 拓展总结 一元二次不等式与相应的方程的关系如表 数学 师生互动·合作探究 探究点一 [例1] 解下列不等式: (1)2x2+7x+3>0; 一元二次不等式的解法 数学 [例1] 解下列不等式: (2)x2-4x-5≤0; 解:(2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0, 解得-1≤x≤5, 所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}. 数学 方法总结 解一元二次不等式的方法 方法一:若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为两个一次因式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集; 方法二:若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终大于或等于零,则不等式的解集易得; 方法三:若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法. 数学 针对训练:解下列不等式: 数学 解:(2)原不等式可化为2x2-3x+2>0, 因为Δ=9-4×2×2=-7<0, 所以方程2x2-3x+2=0无实根, 所以原不等式的解集为R. (2)-2x2+3x-2<0; 针对训练:解下列不等式: 数学 针对训练:解下列不等式: (3)-x2+7x>6. 解:(3)原不等式可化为x2-7x+6<0. 解方程x2-7x+6=0,得x1=1,x2=6. 所以原不等式的解集为{x|1<x<6}. 数学 [备用例1] 解不等式:-2<x2-3x≤10. 数学 探究点二 解含参数的一元二次不等式 [例2] 解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0). 数学 方法总结 解含参数的一元二次不等式时 (1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论; (2)若求对应时一元二次方程的根需用公式,则应对判别式Δ进行讨论; (3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论. 数学 针对训练:解关于x的不等式:ax2-(a-1)x-1<0(a∈R). 数学 [备用例2] 若关于x的不等式ax2+2x+2>0在R上恒成立,求实数a的取值范围. 数学 探究点三 一元二次不等式与相应方程的关系 数学 方法总结 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+ bx+c=0的根. 数学 数学 探究点四 解简单分式不等式 数学 数学 方法总结 对于分子、分母均含x的不等式,若一侧为0,则可利用符号法则转化为整式不等式或不等式组求解,一定要注意等价转化,特别注意等号能否取到.若有一侧不为0,要先移项将一侧化为0,再转化为整式不等式求解,要注意不可在两边同乘分母,直接去掉分母,因为分母的符号不确定. 数学 A.{x|-1≤x≤2} B.{x|-1≤x<2} C.{x|x≤-1或x≥2} D.{x|x≤-1或x>2} 解析:(1)原不等式等价于(x+1)(2-x)≤0, 且2-x≠0, 所以x≤-1或x>2, 所以原不等式的解集为{x|x≤-1或x>2}.故选D. 数学 数学 易错辨析1——因忽略未知项系数的符号而致误 [典例1] 解不等式:(x+2)(3-x)<0. 学海拾贝 错解:不等式的解集为{x|-2<x<3}