2.2.1 不等式及其性质-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

2.2　不等式 2.2.1　不等式及其性质 数学 学习目标 1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,理解不等式的概念,借助实际问题表示不等式,提升数学建模的核心素养. 2.会用比较法比较两实数的大小.通过大小比较,培养逻辑推理的核心素养. 3.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.通过不等式性质的判断与证明,培养逻辑推理的核心素养.借助不等式性质求范围问题,提升数学运算的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.理解两个实数之间的大小 a≥b⇔ ,a≤b⇔ . a-b<0⇔a<b, a-b=0⇔a=b, a-b>0⇔a>b. 思考1:数轴上的点往数轴的负方向运动时,所对应的实数变大还是变小? 答案:变小. a>b或a=b a<b或a=b 数学 思考2:不等式“a≤b”的含义是什么?只有当“a<b”与“a=b”同时成立时,该不等式才成立,是吗? 答案:不等式a≤b应读作“a小于或等于b”,其含义是指“a<b或者a=b”,等价于“a不大于b”,即若a<b与a=b之中有一个正确,则a≤b正确. 2.不等式性质 (1)a>b⇒a+c b+c; (2)a>b,c>0⇒ac bc; (3)a>b,c<0⇒ac bc; (4)a>b,b>c⇒a c;(传递性) > > < > 数学 (5)a>b⇔b<a. 推论1.a+b>c⇒a c-b; 推论2.a>b,c>d⇒a+c b+d; 推论3.a>b>0,c>d>0⇒ac bd; 推论4.a>b>0,n∈N,n>1⇒an bn; > > > > > 思考3:利用不等式性质应注意哪些问题? 答案:在使用不等式时,一定要弄清不等式(组)成立的前提条件,不可强化或弱化成立的条件.如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘;可乘性中的“c的符号”等都需要注意. 数学 3.反证法 首先假设结论的否定成立,然后由此进行推理得到矛盾,最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法,反证法是一种间接证明的方法. 4.分析法 分析法的推理形式是“要证p,只需证明q”,这可以表示为p⇐q,其中p是需要证明的结论,所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件. 数学 拓展总结 (1)性质1说明不等式两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式同向.性质1是不等式移项法则的基础,不等式中任意一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边. (2)性质2,3证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正,异号相乘得负”的法则来完成的.一定要注意性质2,3中c的符号,因为c的符号不同,结论恰好相反.性质2,3中的a,b可以是实数,也可以是式子. (3)推论2中,同向不等式可相加,但不能相减,即由a>b,c>d,可以得出a+c> b+d,但不能得出a-c>b-d. 数学 (4)不等式的性质中,对表达不等式性质的各不等式,要注意“箭头”是单向的还是双向的,即符号“⇔”表示等价关系,可以互相推出,而符号“⇒”只能从左边推向右边,该性质不具备可逆性.尤其在证明不等式时,要注意是否可逆. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 [例1] 已知a,b均为正实数.试利用作差法比较a3+b3与a2b+ab2的大小. 比较大小 解:因为a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). 当a=b时,a-b=0,a3+b3=a2b+ab2; 当a≠b时,(a-b)2>0,a+b>0, a3+b3>a2b+ab2. 综上所述,a3+b3≥a2b+ab2. 数学 方法总结 比较两个实数的大小,可以求出它们的差的符号.作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步,变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式. 数学 针对训练:已知x<1,试比较x3-1与2x2-2x的大小. 数学 探究点二 利用不等式的性质证明不等式 数学 数学 (3)若a3+b3=2,求证:a+b≤2. 证明:(3)假设a+b>2,则a>2-b, 所以2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2, 即(b-1)2<0,这是不可能的. 所以a+b≤2. 数学 方法总结 证明不等式的方法有综合法、分析法与反证法.综合法的实质是不断寻找必然成立的结论;分析法的实质是不断寻找结论成立的充分条件;用反证法证明不等式,其实质是从否定结论出发,通过逻辑推理,导出与已知条件或公理相矛盾的结论,从