第一章 2.2 第1课时 全称量词命题与存在量词命题-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，北师大版）

2.2　全称量词与存在量词 第1课时　全称量词命题与存在量词命题 基础巩固 1.下列命题中存在量词命题的个数是(　B　) ①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④对于任意x∈R,总有|x|≥0. A.0 B.1 C.2 D.3 解析:命题①含有存在量词,是存在量词命题;命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,是全称量词命题;命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”,是全称量词命题;而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.故选B. 2.将命题“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题为(　A　) A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy成立 B.存在x,y∈R,使x2+y2≥2xy成立 C.对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy成立 D.存在x<0,y<0,使x2+y2≤2xy成立 解析:本题中的命题仅保留了结论,省略了条件“任意x,y∈R”,改成全称量词命题为“对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy成立”.故选A. 3.给出下列三个命题: ①对任意的x∈R,x2>0; ②存在x∈R,使得x2≤x成立; ③对于集合A,B,若x∈A∩B,则x∈A且x∈B. 其中真命题的个数是(　C　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:对于①,存在x=0,使得x2=0,故①是假命题;显然②③是真命题.故选C. 4.给出四个命题:①末位数是偶数的整数能被2整除;②有的菱形是正方形;③存在实数x,x>0;④对于任意实数x,2x+1是奇数.下列说法正确的是(　C　) A.四个命题都是真命题 B.①②是全称量词命题 C.②③是存在量词命题 D.四个命题中有两个是假命题 解析:①④为全称量词命题;②③为存在量词命题;①②③为真命题;④为假命题.故选C. 5.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是　　　　　　　　　　(填“全称量词命题”或“存在量词命题”),用符号表示为　　　　　　　. 解析:命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是存在量词命题,用符号表示为“∃x,y∈R,x+y>1”. 答案:存在量词命题　∃x,y∈R,x+y>1 6.对任意x>3,x>a恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:对任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,所以a≤3.故实数a的取值范围是(-∞,3]. 答案:(-∞,3] 能力提升 7.若“∀x∈R,x2>m”是真命题,则实数m的取值范围是(　D　) A.[0,+∞) B.(0,+∞) C.(-∞,0] D.(-∞,0) 解析:∀x∈R,x2≥0,若“∀x∈R,x2>m”是真命题,则m<0.故选D. 8.(多选题)下列命题正确的是(　AB　) A.存在x<0,x2-2x-3=0 B.对于一切实数x<0,都有|x|>x C.∀x∈R,=x D.∃n∈N+,2n2+5n+2能被2整除是假命题 解析:A中,存在x=-1<0,使x2-2x-3=0,故正确;B中,对于一切实数x<0,都有|x|>x恒成立,故正确;C中,∃x=-2∈R,=2,则≠x,故错误; D中,∃n=2∈N+,2n2+5n+2=20能被2整除,为真命题,故错误.故选AB. 9.下列语句中,是全称量词命题的是　　 　　,是存在量词命题的是　　　　.  ①菱形的四条边相等; ②角平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等; ③∀x∈R,x2+2>0; ④至少有一个负整数是奇数; ⑤所有三角形都有外接圆吗? 解析:①②③是全称量词命题;④是存在量词命题;⑤不是命题. 答案:①②③　④ 10.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假. (1)∃x∈R,x-2≤0; (2)三角形两边之和大于第三边; (3)有些整数是偶数. 解:(1)存在量词命题.当x=1时,x-2=-1<0,故此命题是真命题. (2)全称量词命题.在三角形中,任意两边之和大于第三边,故此命题是真命题. (3)存在量词命题.2是整数,2也是偶数,故此命题是真命题. 11.设q(x):|x-1|=1-x. (1)写出q(1),q(2),并判断它们是不是真命题; (2)写出“∀a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题; (3)写出“∃a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题. 解:(1)q(1):|1-1|=1-1,真命题. q(2):|2-1|=1,1-2=-1,|2-1|≠1-2,假命题. (2)∀a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知q(2)为假命题,所以“∀a∈R,|a-1|= 1-a”为假命题. (3)∃a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知q(1)为真命题, 所以“∃a∈R,|a-1|=1-a”为真命题. 应用创新 12.已知A={x|1≤x≤2},命题“∀x∈A,x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条