第七章 概 率 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

章末总结 判断对错.(正确的打“√”,错误的打“×”) 1.必然事件也可能不发生,不可能事件一定不能发生.(　×　) 2.若事件A与B是互为对立事件,则事件A与B一定为互斥事件.(　√　) 3.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.(　×　) 4.古典概型中每一个样本点出现的可能性相等.(　√　) 5.古典概型中的任意两个样本点都是互斥的.(　√　) 6.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.(　×　) 7.“P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.(　√　) 8.频率是客观存在的,与试验次数无关.(　×　) 9.若事件A与B相互独立,则B与相互独立.(　√　) 题型一　互斥事件与对立事件的概率 [例1] 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率; (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 解:记事件A表示“该车主购买甲种保险”;事件B表示“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”;事件C表示“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”;事件D表示“该车主甲、乙两种保险都不购买”. (1)由题意得P(A)=0.5,P(B)=0.3,又C=A∪B, 所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8. (2)因为D与C是对立事件,所以P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2. 求复杂事件的概率常用的两种方法 (1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和. (2)先求其对立事件的概率,然后再应用公式P(A)=1-P()求解. 题型二　古典概型 [例2] (1)“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一,其内容是:任一大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和,也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的,若将6拆成两个正整数的和,则拆成的和式中,加数全部为质数的概率为(　　) A. B. C. D. (2)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为(　　) A. B. C. D. 解析:(1)6拆成两个正整数的和含有的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知,所求概率为P=.故选A. (2)从O,A,B,C,D这5个点中任取3个有 {O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C},{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D},{A,C,D},{B,C,D},共10种不同取法, 3点共线只有{O,A,C}与{O,B,D}共2种情况, 由古典概型的概率计算公式知, 取到3点共线的概率为=.故选A. 古典概型的计算关键要分清样本点的总数n与事件A包含的样本点的个数m,再利用公式P(A)=求解.有时需要用列举法把样本点一一列举出来,在列举时必须按某一顺序做到不重不漏. 题型三　频率与概率 [例3] 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:h)进行了统计,统计结果如表所示: 分组 [500,900) [900,1 100) [1 100,1 300) 频数 48 121 208 频率 分组 [1 300, 1 500) [1 500, 1 700) [1 700, 1 900) [1 900, +∞) 频数 223 193 165 42 频率 (1)求各组的频率; (2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1 500 h的概率. 解:(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)样本中寿命不足1 500 h的频数是 48+121+208+223=600, 所以样本中寿命不足1 500 h的频率是=0.6. 即灯管使用寿命不足1 500 h的概率约为0.6. 随机事件概率的理解及求法 (1)理解:概率可看作频率理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时,频率越来越趋近于概率.当次数足够多时,所得频率就近似地看作随机事件的概率. (2)求法:通过公式fn(A)==计算出频率,再由频率估算概率. 题型四　相互独立事件的概率 [例4] 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为,乙当选的概率为,丙当选的概率为. (1)求三人中恰有一名同学当选的概率; (2)求三人中至多有两人当选的概率. 解:设甲、乙、丙当选的事件分别为A,B,C, 则有P(A)=,P(B)=,P(C)=