第七章 2.2 古典概型的应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

2.2　古典概型的应用 学习目标 1.了解互斥事件的概率加法公式,提升数学抽象与数学运算的核心素养. 2.能够灵活运用对立事件的概率计算公式求解事件的概率,提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 问题1:在集合{1,2,3,4,5,6,7}中随机取一个数, (1)设事件A表示“取到数字1”,事件B表示“取到数字2或3”,求P(A),P(B),P(A∪B); (2)设事件A表示“取到数字1或2”,事件B表示“取到数字2或3”,求P(A),P(B),P(A∪B). 提示:(1)P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=. (2)P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=. 1.互斥事件的概率加法公式 (1)在一个试验中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A∪B)=P(A)+P(B),这一公式称为互斥事件的概率加法公式. (2)一般地,如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 思考1:用文字语言叙述以上两个公式的意义. 提示:两个互斥事件的并事件(和事件)的概率等于这两个事件概率的和; n个彼此互斥事件的并事件(和事件)的概率等于其概率的和. 问题2:事件A和其对立事件的并事件的概率是多少? 提示:P(A∪)=P(Ω)=1. 2.对立事件的概率计算公式 P(A∪)=P(A)+P(),即P(A)+P()=1,所以P()=1-P(A). 思考2:已知P(A)=0,P(B)=1,求P(). 提示:P()=1-P(A∪B)=1-1=0. 设A,B是一个随机试验中的两个事件,则有P(A∪B)=P(A)+P(B)- P(A∩B). 互斥事件的概率加法公式 [例1] 从一箱产品中随机抽取一件产品,设事件A为“抽到的是一等品”,事件B为“抽到的是二等品”,事件C为“抽到的是三等品”,且已知P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05,求下列事件的概率. (1)事件D“抽到的是一等品或二等品”; (2)事件E“抽到的是二等品或三等品”; (3)事件F“抽到的是一等品或二等品或三等品”. 解:(1)因为事件A,B互斥,所以事件D“抽到的是一等品或二等品”的概率为P(D)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7+0.1=0.8. (2)因为事件B,C互斥,所以事件E“抽到的是二等品或三等品”的概率为P(E)=P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15. (3)因为事件A,B,C两两互斥,所以事件F“抽到的是一等品或二等品或三等品”的概率为P(F)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.7+0.1+0.05=0.85. (1)将一个事件分拆为若干个互斥事件,分别求出各个事件的概率,然后利用互斥事件的概率加法公式求出结果. (2)运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏. (3)常用步骤:①确定各事件彼此互斥;②求各个事件分别发生的概率,再求其和. 针对训练:(1)抛掷一枚均匀的骰子,观察出现的点,设事件A为“出现1点”,B为“出现2点”.已知P(A)=P(B)=,求出现1点或2点的 概率; (2)盒子里装有6个红球,4个白球,从中任取3个球.设事件A表示“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B表示“3个球中有2个红球,1个白球”.已知P(A)=,P(B)=,求这3个球中既有红球又有白球的 概率. 解:(1)设事件C为“出现1点或2点”,因为事件A,B是互斥事件,由C=A∪B可得P(C)=P(A)+P(B)=+=,所以出现1点或2点的概率 是. (2)因为A,B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=,所以这3个球中既有红球又有白球的概率是. 对立事件的概率计算公式 [例2] 某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如表: 排队人数X 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则至少有两人排队的概率为(　　) A.0.16 B.0.26 C.0.56 D.0.74 解析:由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表,得至少有两人排队的概率为P=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.1-0.16=0.74.故选D. 在求解复杂的事件的概率时,通常有两种方法,一是将所求事件的概率转化成彼此互斥的事件的概率之和,二是先求此事件的对立事件的概率,再利用P(A)=1-P()来得出原问题的解,这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍,特别是在涉及“至多”或“至少”问题时,常常用此思维模式. 针对训练:某医院要派医生下乡义诊,派出医生的人数及其概率如表所示: 人数 0 1