第二章 3.2 函数的最大(小)值-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

第2课时　函数的最大(小)值 　　燃放烟花是元宵佳节的传统风俗,此起彼伏的烟花在天空中绽放,绚丽多姿,争奇斗艳,蔚为壮观.你听,烟火嗖嗖向空中窜去,在空中砰砰炸开;你看,五颜六色的烟花绽放了,美极了. 探究:烟花通常在什么位置炸开呢? 答案:最高点. 函数的最大值、最小值 项目 最大值 最小值 条件 设函数y=f(x)的定义域为D,若存在实数M 对所有的x∈D,都有f(x)≤M,且存在x0∈D,使得f(x0)=M 对所有的x∈D,都有f(x)≥M,且存在x0∈D,使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 思考1:如果函数f(x)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M,那么M一定是函数f(x)的最大值吗? 提示:不一定.如函数f(x)=-x2≤1恒成立,但是1不是函数的最大值. 思考2:函数的最值与函数的值域有什么关系? 提示:函数值域是指函数值的集合,函数最大(小)值一定是值域的元素.如果值域是一个闭区间,那么函数的最大(小)值就是闭区间两端点的值. 思考3:函数最值的几何意义是什么? 提示:函数图象最高(低)点的纵坐标. f(x)的定义域为[a,c],a<b<c,且f(x)在[a,b]上单调递减,在[b,c]上单调递增,则f(x)的最小值点为x=b;f(x)一定有最大值,为f(a),f(c)中最大的一个. 图象法求函数的最值 [例1] (1)函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A.-2,f(2) B.2,f(2) C.-2,f(5) D.2,f(5) (2)函数f(x)=的最小值为　　　　.  解析:(1)由函数的图象知,当x=-2时,有最小值-2;当x=5时,有最大值f(5).故选C. (2)函数f(x)的图象如图, 由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1. 答案:(1)C　(2)1 用图象法求最值的一般步骤 针对训练:作出函数y=|x-2|(x+1)的图象,说明函数的单调性,并判断是否存在最大值和最小值. 解:当x-2≥0,即x≥2时, y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x-)2-; 当x-2<0,即x<2时, y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x-)2+. 所以y= 画出该分段函数的图象,如图.由图象可知,函数y=|x-2|(x+1)在(-∞,],[2,+∞)上单调递增;在[,2]上单调递减. 观察函数图象,可知函数不存在最大值,也不存在最小值. 利用单调性求函数的最值 [例2] (1)已知函数f(x)=,则f(x)在区间[2,6]上的最大值为(　　) A. B.3 C.4 D.5 (2)函数f(x)=x2-4x+7(0≤x≤6)的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  解析:(1)因为f(x)==2+在[2,6]上单调递减,所以f(x)max=f(2)=4.故选C. (2)由二次函数的性质知,f(x)在[0,2)上单调递减,在[2,6]上单调递增,所以f(x)min=f(2)=3, f(0)=7,f(6)=19,所以f(x)max=f(6)=19. 答案:(1)C　(2)19　3 函数的最值与单调性的关系 (1)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递增,在区间[b,c)上单调递减,则函数y=f(x),x∈(a,c)在x=b处有最大值f(b). (2)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递减,在区间[b,c)上单调递增,则函数y=f(x),x∈(a,c)在x=b 处有最小值f(b). (3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则在区间[a,b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值. 针对训练:(1)若函数f(x)=在区间[0,1]上的最大值为,则实数m=(　　) A.3 B. C.2 D.或3 (2)已知函数f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a],并且f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是　　　　.  解析:(1)函数f(x)=,即f(x)=2+,x∈[0,1], 当m=2时,f(x)=2不成立; 当m-2>0,即m>2时,f(x)在[0,1]上单调递减,可得f(0)为最大值,即f(0)==,解得m=成立; 当m-2<0,即m<2时,f(x)在[0,1]上单调递增,可得f(1)为最大值,即f(1)==,解得m=3不成立. 综上可得m=.故选B. (2)由题意知f(x)在[1,a]上单调递减, 又因为f(x)的单调递减区间为(-∞,3], 所以1<a≤3. 答案:(1)B　(2)(1,3] 函数最值的实际应用 [例3] 如图所示,动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍,可供建造围墙的材料总长为30 m,