第二章 3.1 函数的单调性-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§3　函数的单调性和最值 第1课时　函数的单调性 学习目标 1.结合实例,经历从具体的直观描述到形式的符号表达函数单调性的过程,提升数学抽象和直观想象的核心素养. 2.利用特殊函数,理解函数单调性及几何意义,提升直观想象的核心素养. 3.会根据函数单调性的定义,判断、证明单调性,提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 　　著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据: 时间 间隔 t 刚记 忆完 毕 20分 钟后 60分 钟后 8～9 小时 后 1天 后 2天 后 6天 后 一个 月后 记忆 量y /百分 比 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图. 探究:(1)当时间间隔t逐渐增大时,对应的函数值y有什么变化趋势?通过这个测试,以后应如何对待刚学过的知识? (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释? 答案:(1)随着时间间隔t逐渐增大,函数值y逐渐变小,这个测试告诉我们,在学习中,应及时复习刚学习过的知识. (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线. 1.增函数与减函数的定义 增函数 减函数 定 义 设函数y=f(x)的定义域为D,如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 那么就称函数y=f(x)是增函数,特别地,当I是定义域D上的一个区间时,也称函数y=f(x)在区间I上单调递增 那么就称函数y=f(x)是减函数,特别地,当I是定义域D上的一个区间时,也称函数y=f(x)在区间I上单调递减 图象特征 函数f(x)在区间D上的图象从左往右看上升 函数f(x)在区间D上的图象从左往右看下降 图象示例 2.函数的单调性 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的单调区间. 思考1:若一个函数有多个增(或减)的单调区间,写函数的单调区间时应注意什么? 提示:若函数有多个增(或减)的单调区间,各区间之间只能用“,”或“和”连接,而不能用“∪”与“或”连接. 思考2:如果f(x)在区间[a,b]和(b,c]上都单调递增,则f(x)在区间[a,c]上单调递增吗? 提示:不一定. (1)函数单调性定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],x1≠x2.若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或>0,则函数f(x)在闭区间[a,b]上单调递增;若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或<0,则函数f(x)在闭区间[a,b]上单调递减. (2)对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点. 函数单调性(或单调区间)的确定 [例1] 求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减. (1)f(x)=-; (2)f(x)= (3)f(x)=-x2+2|x|+3. 解:(1)函数f(x)=-的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在区间(-∞,0),(0,+∞)上都单调递增. (2)当x≥1时,f(x)单调递增,当x<1时,f(x)单调递减,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增. (3)因为f(x)=-x2+2|x|+3= 根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知, 函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞). 并且函数f(x)在区间(-∞,-1],[0,1)上单调递增,在区间(-1,0),[1,+∞)上单调递减. 根据函数解析式求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性,如一次函数的单调性由一次项系数的符号确定,二次函数的单调性由二次项系数以及二次函数图象的对称轴确定等. (2)如函数的单调性不能由解析式直接确定,也可以作出函数的图象,利用函数的图象确定函数的单调区间. 易错警示:若求出的函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”或“和”隔开. 针对训练:(多选题)下列函数中,在区间(-∞,0)上单调递减的是(　　) A.y=x2-2 022 B.y=|x+1| C.y=x2+x+1 D.y= 解析:函数y=x2- 2 022在区间(-∞,0)上单调递减