5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式 探究:如何用 , 的正弦、余弦来表示cos( - ) ? x y O 终边 A(1,0) P1 P A1 终边 - 终边 如图,在直角坐标平面xOy内作单位圆O,并作出角 、 和 – . 由圆的旋转对称性知:AP =A1P1 ( ≠2k + .k∈Z) A1 (cos , sin ) P (cos( - ), sin( - )) A (1, 0) P1 (cos , sin ) 各点坐标: 在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x y O . . P1(x1, y1) P2(x2, y2) M1(x1, 0) M2(x2, 0) N1(0, y1) N2(0, y2) Q P1Q=M1M2= x1–x2 ,QP2=N1N2= y1–y2 , 由勾股定理,可得 P1P22=P1Q2+QP22 =(x1–x2)2+(y1–y2)2, = x1–x2 2+ y1–y2 2 ∟ ∟ ∟ ∟ ∟ 由此得到平面内P1(x1, y1), P2(x2, y2) 两点间距离公式: P1P2= 两点间距离公式 3 P (cos( - ), sin( - )) A (1, 0) P1 (cos , sin ) A1 (cos , sin ) AP =A1P1 ( ≠2k + .k∈Z) 思考:如果两个任意角终边重合 ,上述结论成立吗? ( =2k + .k∈Z) 当 , 终边重合时,cos =cos ,sin =sin . 左侧=cos2k =1,右侧=sin2 +cos2 =1, 上述结论仍然成立. 两角差的余弦公式 简记作 (1)公式的结构特征: 左边两角差的余弦,右边是同名三角函数乘积的和,可用口诀“余余正正,符号相反”记忆公式. (2)公式中的角 , : 可以是任意具体的角,也可以是一个“团体” 判断正误: (1)存在角 , ,使cos( - )=cos -cos .( ) (2)对于任意角 , ,总有cos( - )=cos -cos .( ) (3)对于任意角 , ,总有cos( - )=cos cos -sin sin .( ) 思考:你会求的值吗? 利用差角余弦公式求的值 解法1: cos15 = cos(45 -30 ) = cos45 cos30 +sin45 sin30 cos15 = cos(60 -45 ) = cos60 cos45 +sin60 sin45 解法2: 例1、利用公式C( - )证明、求值: 证明: 证明: 例2. 已知sina = a ( p), cosb = b 是第三象限角, 求cos(a -b )的值. 解: 已知 则cosa = 又 b是第三象限角, 则sinb = ∴cos(a -b ) = cosa cosb +sina sinb 1、证明: ∴左边=右边,得证 证明: 课本p217练习 思考:由公式C( - ) 出发,你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗? cos( + )=? sin( + )=? sin( - )=? tan( + )=? tan( - )=? 注意到 + = -(- ) cos( – )=cos cos +sin sin 则由公式C( - ),有 思考:你能依据 + 与 - 之间的联系,利用公式C( - ) ,推导出两角和的余弦公式cos( + )吗? cos(a+b)=cos[a-(-b)] = cosacos(-b) + sinasin(-b) = cosacosb - sinasinb cos(a+b) = cosacosb - sinasinb. 于是我们得到两角和的余弦公式, 简记作 C(a+b). 两角和与差的余弦公式 cos( – )=cos cos +sin sin cos( + )=cos cos – sin sin 使用条件: , 都是任意角. 记忆口诀:“余余正正,符号相反”. 也就是说,和角余弦等于同名积之差,差角余弦等于同名积之和. 探究 以前学过的哪个公式可以实现正弦、余弦的转化呢?如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和与差的正弦公式? 公式五 公式六 简记作S( + ). “正余余正,符号相同” 新知探究 现在我们可以如何得到两角差的正弦公式? 方法: 在公式S( + )中用- 代替 , sin( - )=sin cos(- )+cos sin(- ) =sin cos -cos sin . 简记作S( - ). 可以得到 两角和与差的正弦公式 简记作S( + ). 简记作S( - ). 利用和(差)公式求75 ,15 的正弦、余弦的值. 解: sin75 =sin(45 +30 ) =sin45 cos30 +cos45