第二章 2.1 函数概念-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§2　函　数 2.1　函数概念 学习目标 1.通过用集合语言和对应关系刻画函数,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,提升数学抽象的核心素养. 2.了解构成函数的要素,通过简单函数的定义域、值域的求解,提升数学运算的核心素养. 问题:事物都是运动变化着的,我们可以感受到它们的变化. 早晨,太阳从东方冉冉升起; 气温随时间在悄悄地改变; 小树随着时间的变化不断长高; …… 在这些变化着的现象中,都存在着两个变量,当一个变量变化时,另一个变量也随之发生变化. (1)怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系? (2)这样的模型具有怎样的特征? 1.函数的概念 给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中集合A称为函数的定义域,x称为自变量,与x值对应的y值称为函数值,集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域.习惯上我们称y是x的函数. 思考1:如果函数y=f(x)的定义域、值域确定,那么对应关系确定吗? 提示:不确定,例如函数的定义域为A={-1,0,1},值域为B={0,1},则对应关系f(x)=x2或f(x)=|x|均可. 2.同一个函数 一般地,如果两个函数定义域相同,对应关系也相同(即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数. 思考2:函数y=f(x)(x∈R)与y=f(t)(t∈R)是同一个函数吗? 提示:是,虽然自变量的表示字母不同,但是定义域都是R,并且对应关系f相同. 理解函数的概念应关注三点 (1)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数. (2)y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定就是解析式. (3)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号来表示函数. 函数概念的理解 [例1] 下列从集合A到集合B的对应关系中,判断y是不是x的函数. (1)A={x|x∈Z},B={y|y∈Z},对应关系f:x→y=; (2)A={x|x>0,x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y2=3x; (3)A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y:x2+y2=25; (4)A=R,B=R,对应关系f:x→y=x2; (5)A={(x,y)|x∈R,y∈R},B=R,对应关系f:(x,y)→s=x+y; (6)A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={0},对应关系f:x→y=0. 解:(1)在对应关系f下,A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应,所以y不是x的函数. (2)在对应关系f下,A中的数在B中有两个数与之对应,所以y不是x的函数. (3)在对应关系f下,A中的数(除去5与-5外)在B中有两个数与之对应,所以y不是x的函数. (5)A不是数集,所以不能确定y是x的函数. (4)(6)中的对应关系满足函数的概念,y是x的函数. 判断一个对应关系是不是函数的方法 针对训练:(多选题)下列对应关系f是A到B的函数的是(　　) A.A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},f:x→x的平方根 B.A=R,B=R,f:x→x的倒数 C.A=R,B=R,f:x→x2-2 D.A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:x→x2 解析:对于A,集合A中的一个元素,在集合B中能找到两个元素与之对应,不是A到B的函数;对于B,集合A中有一个元素0,在集合B中没有对应元素,不是A到B的函数;对于C,集合A中任一元素,B中都有唯一确定的元素与之对应,是A到B的函数;对于D,集合A中任一元素,B中都有唯一确定的元素与之对应,是A到B的函数.故选CD. 函数定义域的求法 [例2] 求下列函数的定义域. (1)y=-; (2)y=; (3)y=+; (4)f(x)=+. 解:(1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠-1, 即函数的定义域为{x|x≤1且x≠-1}. (2)要使函数有意义,则-x2+2x+8≥0, 解得-2≤x≤4,因此函数的定义域为[-2,4]. (3)要使函数有意义,则 即 所以x2=1,从而函数的定义域为{x|x=±1}={1,-1}. (4)要使函数有意义,则 即 即-3≤x<且x≠-, 所以函数的定义域为[-3,-)∪(-,). 根据函数的解析式求函数的定义域的方法 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一