第一章 4.1 一元二次函数-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4.1　一元二次函数 学习目标 1.通过一元二次函数图象的学习,提升直观想象素养. 2.借助一元二次函数性质的应用,提升逻辑推理素养. 1.一元二次函数的表达式 (1)一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)都可以通过配方化为y=a(x-h)2+k(a≠0),其中,h=-,k=. (2)一元二次函数解析式有三种形式: ①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). ②顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0). ③两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标). 2.一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象 一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到. a决定了一元二次函数图象的开口大小及方向;h决定了一元二次函数图象的左右平移,而且“h正右移,h负左移”;k决定了一元二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.简记为“左加右减,上加下减”. 3.二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质 a>0(开口向上) a<0(开口向下) 图象 性 质 对称轴 直线x=h 顶点 (h,k) x的取 值范围 (-∞,+∞)或R y的取值 范围 [k,+∞) (-∞,k] 函数 值的变化 趋势 在区间(-∞,h]上,y随x的增大而减小; 在区间[h,+∞)上,y随x的增大而增大 在区间(-∞,h]上,y随x的增大而增大; 在区间[h,+∞)上,y随x的增大而减小 最值 x=h时,y有最小值k x=h时,y有最大值k 二次函数最值问题 (1)解法:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间的两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的性质及分类讨论的思想求解. (2)二次函数在闭区间上的最值: 设二次函数y=ax2+bx+c(a>0),闭区间为[m,n]. ①当-≤m时,最小值为函数在x=m处的取值,最大值为函数在x=n处的取值; ②当m<-≤时,最小值为函数在x=-处的取值,最大值为函数在x=n处的取值; ③当<-≤n时,最小值为函数在x=-处的取值,最大值为函数在x=m处的取值; ④当->n时,最小值为函数在x=n处的取值,最大值为函数在x=m处的取值. 求二次函数解析式 [例1] 已知一元二次函数y=ax2+bx+c有最小值-3,且方程ax2+bx+c=0的根为-1和2,求该一元二次函数的表达式. 解:因为方程ax2+bx+c=0的根为-1和2, 所以设一元二次函数为y=a(x+1)(x-2), 因为一元二次函数y=ax2+bx+c有最小值-3, 即当x==时,y=-3, 所以a(+1)(-2)=-3,解得a=, 所以一元二次函数的表达式为y=(x+1)(x-2)=x2-x-. 求一元二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同选取的求解方法也不同,选择规律如下: 针对训练:已知一元二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为0和-2,且它有最小值-1,则该一元二次函数的解析式为y=　　　　.  解析:由题意,可设y=ax(x+2)(a≠0), 则y=a(x2+2x)=a(x+1)2-a. 又y有最小值-1,则a=1,所以y=x2+2x. 答案:x2+2x 一元二次函数的图象变换 [例2] 在同一平面直角坐标系中作出下列函数的图象. (1)y=x2;(2)y=x2-2;(3)y=2x2-4x. 并分析如何把y=x2的图象变换成y=2x2-4x的图象. 解:列表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9 y=x2-2 7 2 -1 -2 -1 2 7 y=2x2-4x 30 16 6 0 -2 0 6 描点、连线即得相应函数的图象,如图所示. 由图象可知由y=x2到y=2x2-4x的变化过程如下: 法一　先把y=x2的图象向右平移1个单位长度得到y=(x-1)2的图象,然后把y=(x-1)2的图象横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到 y=2(x-1)2的图象,最后把y=2(x-1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y=2x2-4x的图象. 法二　先把y=x2的图象向下平移1个单位长度得到y=x2-1的图象,然后再把y=x2-1的图象向右平移1个单位长度得到y=(x-1)2-1的图象,最后把y=(x-1)2-1的图象横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,便可得到y=2(x-1)2-2,即y=2x2-