第一章 3.2 第2课时 基本不等式(二)-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

第2课时　基本不等式(二) 学习目标 1.通过基本不等式求函数最值的应用,提升数学运算素养. 2.借助基本不等式在实际问题中的应用,提升数学建模素养. 当x,y均为正数时,下列命题均成立: (1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值; (2)若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最小值2. 思考:两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗? 提示:不一定.应用基本不等式求最值时还要求等号能取到. 利用基本不等式求最值 [例1] (1)若x<0,求y=+3x的最大值; (2)已知x>1,求y=的最小值. 解:(1)因为x<0,所以y=-[(-) +(-3x)] ≤-2=-12, 当且仅当-=-3x,即x=-2时等号成立,所以y的最大值为-12. (2)因为x>1,所以x-1>0. 设t=x-1(t>0),则x=t+1, 所以y===t++2≥2+2=2+2, 当且仅当t=,即t=,x=+1时等号成立,所以y的最小值为2+2. 在具体问题中,“正数”条件一般由已知条件容易获得,“相等”条件也易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计为一个难点,它需要一定的变形能力,因此,“定值”条件是运用基本不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”,创造应用基本不等式及使等号成立的条件.当连续应用基本不等式时,要注意各不等式取等号时的条件是否一致,否则也不能求出最值. 针对训练:(1)已知x>2,求x+的最小值; (2)若x≠0,求y=的最大值. 解:(1)因为x>2,所以x-2>0, 所以x+=x-2++2≥2+2=6, 当且仅当x-2=,即x=4时,等号成立. 所以x+的最小值为6. (2)因为x≠0,所以y== 因为x2+≥2, 当且仅当x2=即x2=时取等号. 所以≤=, 所以y=的最大值为. 基本不等式的灵活应用 [例2] (1)已知x>0,y>0且+=1,则x+y的最小值为　　　　.  (2)已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为　　　　.  解析:(1)法一(1的代换) 因为+=1, 所以x+y=(x+y)·(+) =10++.因为x>0,y>0,所以+≥2=6, 当且仅当=,即y=3x,①时,取等号. 又+=1,② 解①②可得x=4,y=12. 所以当x=4,y=12时,x+y的最小值是16. 法二(消元法)　由+=1,得x=. 因为x>0,y>0, 所以y>9. 所以x+y=+y=y+= y++1=(y-9)++10. 因为y>9,所以y-9>0, 所以(y-9)+≥2=6. 当且仅当y-9=,即y=12时,取等号, 此时x=4, 所以当x=4,y=12时,x+y的最小值是16. (2)因为正数x,y满足x+y=1,即有(x+2)+(y+1)=4,则+=[(x+2)+(y+1)]·(+) =[5++]≥ [5+2] =×(5+4)=, 当且仅当x=2y=时,取得最小值. 答案:(1)16　(2) “1”的代换:利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子,将“1”代入后再利用基本不等式求最值. 针对训练:(1)已知2a+b=1,a>0,b>0,则+的最小值是(　　) A.2 B.3-2 C.3+2 D.3+ (2)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+)(1+)≥9. (1)解析:+=(2a+b)(+)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=时等号成立.故选C. (2)证明:法一　因为a>0,b>0,a+b=1, 所以1+=1+=2+. 同理1+=2+. 故(1+)(1+) =(2+)(2+)=5+2(+)≥5+4=9. 所以(1+)(1+)≥9,当且仅当a=b=时取等号. 法二　(1+)(1+)=1+++=1++=1+. 因为a,b为正数,a+b=1, 所以ab≤()2=, 于是≥4,≥8. 因此(1+)(1+)≥1+8=9, 当且仅当a=b=时等号成立. 利用基本不等式解应用题 [例3] 现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费为y1(单位:万元),仓库到车站的距离为x(单位:km),x>0,其中y1与x+1成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比,若在距离车站9 km处建仓库,则y1和y2分别为2万元和7.2万元.则这家公司应该把仓库建在距离车站多少km处,才能使两项费用之和最少?最少费用是多少? 解:设y1=(k≠0),y2=mx(m≠0), 其中x>0. 当x=9时,y1==2,y2=9m=7.2, 解得k=20,m=0.8, 所以y1=,y2=0.8x, 设两项费用之和为z(单位:万元), 则z=y1+y2=+0.8x=+0.8(x+1)-0.8≥2 -0.