第一章 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 学习目标 1.通过对命题的否定的认识,提升数学抽象素养. 2.通过对含有一个量词的命题的否定的理解,提升逻辑推理素养. 1.命题的否定 当命题是真命题时,命题的否定是假命题;当命题是假命题时,命题的否定是真命题. 思考:对于不含量词的命题如何进行否定? 提示:条件不变,只把结果否定. 2.全称量词命题的否定 全称量词 命题p 全称量词命题p的否定 结论 ∀x∈M,x具有性质p(x) ∃x∈M,x不具有性质p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 3.存在量词命题的否定 存在量词 命题p 存在量词命题p的否定 结论 ∃x∈M,x具有性质p(x) ∀x∈M,x不具有性质p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 常见词语的否定 词语 词语的否定 等于 不等于 大于 不大于(即小于或等于) 小于 不小于(即大于或等于) 是 不是 都是 不都是(与“都不是”区别开) 至多一个 至少两个 至少一个 一个也没有 任意 某个 所有的 某些 全称量词命题的否定 [例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断其真假. (1)任何一个平行四边形的对边都平行; (2)∀a,b∈R,方程ax=b都有唯一解. 解:(1)命题的否定为“存在一个平行四边形,它的对边不都平行”,假命题. (2)命题的否定为“∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在”,真命题. 全称量词命题的否定的两个关注点 (1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定. (2)有些全称量词命题省略了量词,在这种情况下,不要将否定直接写成“是”或“不是”,而要具体情况具体分析. 针对训练:命题“∀a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根”的否定是(　　) A.∀a∉R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根 B.∃a∉R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根 C.∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根 D.∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1≠0没有实根 解析:根据全称量词命题的否定可知,命题“∀a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根”的否定是“∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根”.故选C. 存在量词命题的否定 [例2] 写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假. (1)p:∃x>1,使x2-2x-3=0; (2)p:有些素数是奇数; (3)p:有些平行四边形不是矩形. 解:(1)p的否定:∀x>1,x2-2x-3≠0.(假命题). (2)p的否定:所有的素数都不是奇数.(假命题). (3)p的否定:所有的平行四边形都是矩形.(假命题). 存在量词命题的否定是全称量词命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论. 针对训练:写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假. (1)有些实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是正方形; (3)∃x,y∈Z,使得x+y=3. 解:(1)命题的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”,它是假命题. (2)命题的否定是“每一个平行四边形都不是正方形”,它是假命题. (3)命题的否定是“∀x,y∈Z,x+y≠3”. 当x=0,y=3时,x+y=3,它是假命题. 存在量词命题、全称量词命题的综合应用 [例3] 已知函数y=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由; (2)若存在一个实数x,使不等式m-(x2-2x+5)>0成立,求实数m的取值范围. 解:(1)不等式m+y>0可化为m>-y, 即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可. 故存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立,此时实数m的取值范围是(-4,+∞). (2)不等式m-(x2-2x+5)>0可化为m>x2-2x+5,若存在一个实数x,使不等式m>x2-2x+5成立,只需m>ymin,又y=(x-1)2+4,所以ymin=4,所以m>4, 所以实数m的取值范围是(4,+∞). 对于涉及是否存在的问题,通常总是假设存在,然后推出矛盾,或存在符合条件的元素.一般地,对任意的实数x,a>y恒成立,只要a>ymax;若存在一个实数x,使a>y成立,只需a>ymin. 针对训练:已知y=3ax2+6x-1(a∈R). (1)当a=-3时,求证:对任意x∈R,都有y≤0; (2)方程y=4x有两个不相等的正实数根,求实数a的取值范围. (1)证明:当a=-3时,y=-9x2+6x-1=-(9x2-6x+1)=-(3x-1)2≤0, 所以对任意