第一章 2.2 第1课时 全称量词命题与存在量词命题-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

2.2　全称量词与存在量词 第1课时　全称量词命题与存在量词命题 学习目标 1.通过全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义的学习,提升逻辑推理素养. 2.借助全称量词命题和存在量词命题的真假性的判定,提升逻辑推理、数学运算素养. 　　“哥德巴赫猜想”大致可以分为两个猜想:(1)每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和;(2)每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和.虽然通过大量试验,这两个命题是正确的,但是还需要证明.从1920年布朗证明“9+9”到1966年陈景润攻下“1+2”,历经46年.自“陈氏定理”诞生至今的40多年里,人们对哥德巴赫猜想的进一步研究,均劳而无功. 探究:在上面的实例中,有哪些表示数量多少的词?这些词表示一类事物的全部数量还是部分数量? 答案:在实例中,表示数量的词分别为:每个、两个、三个、大量等,其中“每个”表示全部的数量,“两个、三个、大量”表示部分的数量. 1.全称量词命题与全称量词 (1)在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题. (2)在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“∀”表示,读作“对任意的”. 2.存在量词命题与存在量词 (1)在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题. (2)在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“∃”表示,读作“存在”. (1)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等,由于全称量词不同,因此,同一个命题的不同表述形式如下: 全称量词命题 ∀x∈M,p(x) 表述 形式 ①对所有的x∈M,都有p(x)成立; ②对一切x∈M,都有p(x)成立; ③对每一个x∈M,都有p(x)成立; ④任选一个x∈M,都有p(x)成立; ⑤凡是x∈M,都有p(x)成立 (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.由于存在量词不同,因此,同一个命题的不同表述形式如下: 存在量词 命题 ∃x∈M,p(x) 表述 形式 ①存在x∈M,使p(x)成立; ②至少有一个x∈M,使p(x)成立; ③对有些x∈M,使p(x)成立; ④对某些x∈M,使p(x)成立; ⑤有一个x∈M,使p(x)成立 全称量词命题与存在量词命题的判断 [例1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)梯形的对角线相等; (2)存在一个四边形有外接圆; (3)二次方程都存在实数根; (4)过平面内两点有且只有一条直线. 解:(1)命题完整的表述为“所有梯形的对角线相等”,很显然为全称量词命题. (2)命题为存在量词命题. (3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”,故为全称量词命题. (4)命题完整的表述为“过平面内任意两点有且只有一条直线”,故为全称量词命题. 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词符号正确表达命题. 针对训练:判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“∀”或“∃”表示下列命题. (1)有理数的平方大于或等于零; (2)有的一次函数图象不是一条直线; (3)所有的二次函数都有最大值和最小值. 解:(1)全称量词命题.表示为∀x∈Q,x2≥0. (2)存在量词命题.∃一次函数,它的图象不是一条直线. (3)全称量词命题.∀二次函数,都有最大值和最小值. 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 [例2] 判断下列命题的真假. (1)∃x∈Z,x2=x; (2)存在一个对角线垂直的四边形不是平行四边形; (3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P; (4)∀x∈N,x2>0. 解:(1)因为0∈Z,且02=0, 所以命题“∃x∈Z,x2=x”是真命题. (2)由对角线垂直不平分的四边形都不是平行四边形知,它是真命题. (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真 命题. (4)因为0∈N,02=0,所以命题“∀x∈N,x2>0”是假命题. 全称量词命题和存在量词命题的真假判断 (1)要判断一个全称量词命题为真,必须对于给定集合的每一个元素x,命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假即可. (2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真即可;要判断一个存在量词命题为假,必须对于给定集合的每一个元素x,命题p(x)为假. 针对训练:指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假. (1)∀x∈N,2x+1是奇数; (2)存在一