第一章 1.3 第2课时 全集与补集-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

第2课时　全集与补集 学习目标 1.了解全集的含义及其符号表示,理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集,提升数学运算素养. 2.会用Venn图、数轴进行集合的运算,提升数学运算、数学抽象素养. 1.全集 在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号U表示.全集包含所要研究的这些集合. 2.补集 文字 语言 设U是全集,A是U的一个子集(即A⊆U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集,记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 相关 性质 (1)A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)= . (2)∁U(∁UA)=A,∁UU=,∁U=U. (3)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB), ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 有两个独特的性质: (1)对于任意集合A,皆有A∩=. (2)对于任意集合A,皆有A∪=A,因此,如果A∩B=,就要考虑集合A或B可能是,如果A∪B=A,就要考虑集合B可能是. 补集的基本运算 [例1] (1)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},则集合B=　　　　;  (2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则∁UA=　　　　.  解析:(1)法一(定义法)　因为A={1,3,5,7}, ∁UA={2,4,6}, 所以U={1,2,3,4,5,6,7}. 又∁UB={1,4,6}, 所以B={2,3,5,7}. 法二(Venn图法)　满足题意的Venn图如图所示. 由图可知B={2,3,5,7}. (2)将全集U和集合A分别表示在数轴上,如图所示. 由补集的定义可知∁UA={x|x<-3,或x=5}. 答案:(1){2,3,5,7}　(2){x|x<-3,或x=5} 求集合的补集的方法 (1)定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解. (2)Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集. (3)数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题. 针对训练:(1)设集合A={x∈N*|x≤6},B={2,4},则∁AB等于(　　) A.{2,4} B.{0,1,3,5} C.{1,3,5,6} D.{x∈N*|x≤6} (2)已知U={x|x>0},A={x|2≤x<6},则∁UA=　　　　　　　.  解析:(1)因为A={x∈N*|x≤6}={1,2,3,4,5,6}, B={2,4},所以∁AB={1,3,5,6}.故选C. (2)如图,分别在数轴上表示两集合,则由补集的定义可知,∁UA={x|0<x<2,或x≥6}. 答案:(1)C　(2){x|0<x<2,或x≥6} 集合交、并、补的综合运算 [例2] 已知集合S={x|1<x≤7},A={x|2≤x<5},B={x|3≤x<7}.求: (1)(∁SA)∩(∁SB); (2)∁S(A∪B); (3)(∁SA)∪(∁SB); (4)∁S(A∩B). 解:如图所示,可得 A∩B={x|3≤x<5},A∪B={x|2≤x<7}, ∁SA={x|1<x<2,或5≤x≤7}, ∁SB={x|1<x<3,或x=7}. 由此可得, (1)(∁SA)∩(∁SB)={x|x=7,或1<x<2}. (2)∁S(A∪B)={x|x=7,或1<x<2}. (3)(∁SA)∪(∁SB)={x|1<x<2,或5≤x≤7}∪{x|1<x<3,或x=7}={x|1<x<3,或5≤x≤7}. (4)∁S(A∩B)=(∁SA)∪(∁SB)={x|1<x<3,或5≤x≤7}. 集合交、并、补集综合运算的方法 注意:涉及补集的有关运算应先求集合的补集. 针对训练:已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},求A∩B,(∁UA)∪B,A∩(∁UB). 解:由图知,A∩B={x|-2<x≤2}. ∁UA={x|x≤-2,或3≤x≤4}, ∁UB={x|x<-3,或2<x≤4}, (∁UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4}. A∩(∁UB)={x|2<x<3}. 根据集合的运算求参数的值或取值范围 [例3] (1)已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足B∩(∁UA)={2},A∩(∁UB)={4},U=R,求实数a,b的值; (2)已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且A⫋∁RB,求实数a的取值范围. 解:(1)因为B∩(∁UA)={2}, 所以2∈B,且2∉A. 因为A∩(∁UB)={4}, 所以4∈A,且4∉B. 所以解得 所以a,b的值分别为