第一章 1.2 集合的基本关系-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

1.2　集合的基本关系 学习目标 1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习,提升数学抽象素养. 2.借助子集、真子集的应用,提升逻辑推理素养. 1.Venn图 为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图. 2.子集的相关概念 定义 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合A是集合B的子集 记法 A⊆B(或B⊇A) 图示 性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A; (2)空集是任何集合的子集; (3)对于集合A,B,C,若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C 3.集合相等 对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等,记作A=B. 可用Venn图(如图)表示. 即对于两个集合A与B,若A⊆B,且B⊆A,则A=B. 4.真子集的概念 定义 对于两个集合A与B,如果A⊆B,且A≠B,那么称集合A是集合B的真子集 记法 A⫋B(或B⫌A) 图示 性质 (1)空集是任何非空集合的真子集; (2)对于集合A,B,C,若A⫋B,且B⫋C,则A⫋C 思考:子集与真子集有什么区别? 提示:(1)若A⊆B,则A⫋B或A=B. (2)“⊆”与“⫋”用于集合与集合之间,若A⊆B和A≠B同时成立,则A⫋B更能准确表达集合A,B的关系.若出现A⊆B(B≠)时,应考虑A=和 A≠ 两种情形. 集合关系的判断 [例1] 判断下列各组中集合之间的关系. (1)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数}; (2)A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是四边形},D={x|x是正方形}; (3)A={x|-1<x<4},B={x|x<5}. 解:(1)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以A⫋B. (2)由图形的特点可画出Venn图如图所示,从而D⫋B⫋A⫋C. (3)易知A中的元素都是B中的元素,但存在元素,如-2∈B,但-2∉A,故A⫋B. 判断集合关系的方法 (1)观察法:一一列举观察. (2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法:利用数轴或Venn图. 提醒:若A⊆B和A⫋B同时成立,则A⫋B更能准确表达集合A,B之间的关系. 针对训练:能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是(　　) 解析:解x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得N⫋M.故选B. 子集、真子集的个数问题 [例2] (1)集合{a,b,c}的所有子集为　,  其中它的真子集有　　　　个.  (2)写出满足{3,4}⫋P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P. (1)解析:集合{a,b,c}的子集有,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},其中除{a,b,c}外,都是{a,b,c}的真子集,共7个. 答案:,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}　7 (2)解:由题意知,集合P中一定含有元素3,4,并且是至少含有三个元素的集合,因此所有满足题意的集合P为{0,3,4},{1,3,4}, {2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}. (1)假设集合A中含有n个元素,则 ①A的子集有2n个; ②A的非空子集有(2n-1)个; ③A的真子集有(2n-1)个; ④A的非空真子集有(2n-2)个. (2)求给定集合的子集的两个注意点: ①按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写; ②在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身. 针对训练:已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集. 解:因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N}, 所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}. 所以A的子集有,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}. 由集合间的包含关系求参数 [例3] (1)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且B⊆A.求实数m的取值范围; (2)已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|mx-3=0},且B⊆A,求实数m的取值集合; (3)已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若A=B,求c的值. 解:(1)因为B⊆A, ①当B=时,m+1≤2m-1,