5.1二次根式的概念及性质 课件2023-2024学年湘教版八年级数学上册

八年级数学上册 湘教版 第五章 5.2.1 二次根式的概念及其性质 1．了解二次根式的定义； 2．理解二次根式在实数范围内有意义的条件；(重点) 3．掌握二次根式的两条重要性质．(重点，难点) 教学目标 新课导入 问题1 什么叫做平方根? 问题2 什么叫做算术平方根? 问题3 怎样表示表示一个数的平方根和算术平方根呢？ 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根. 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示. a 的平方根表示为： a 的算术平方根表示为： 新知探究 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)如图的海报为正方形，若面积为2 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m． (2)如图的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 6 m2，则它的宽为_____m． 图 图 新知探究 (3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度 h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为 ． 思考归纳 ① 根指数都为 2; ② 被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 问题1 这些式子分别表示什么意义 分别表示 2，S，3， 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． 思考归纳 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. 根号下的数叫作被开方数. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 注意：a可以是数，也可以是式. 典例精析 例1 判断下列式子是否是二次根式 是 是 是 不是 是 不是 不是 不是 典例精析 方法小结： 根据二次根式的定义，必须满足两个条件： ①根指数是2，即形如； ②被开方数为非负数． 典例精析 例2 当 x 是怎样的实数时, 下列各式在实数范围内有意义? 解:(1) 由 x - 2≥0，得 x≥2. 当 x≥2 时， 在实数范围内有意义. （1） 典例精析 解：因为被开方数需大于或等于零，且分母不能等于零， 所以，得 解得 要使代数式有意义，应考虑如下情况： ①有二次根式的，被开方数应大于或等于零，有多个二次根式的，应使所有被开方数大于或等于零； ②有分式的，分母不等于零； ③零次幂、负整数指数幂的底数不等于零． 课堂练习 1.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义． (1) ； (2) ；(3). 解析：(1)要使有意义，必须使x＋2≥0； (2)要使有意义，必须使≥0，显然x为任何实数； (3)要使有意义，必须使≥0，这时x＝0. 课堂练习 2.下列各式一定是二次根式的是（ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 B 3.(1)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值 范围是_______； x≥1 新知探究 思考 二次根式 的被开方数 a 的取值范围是什么？ 的取值范围又是什么？ ①当 a＞0 时，表示 a 的算术平方根，因此 ＞0； ②当 a = 0时，表示 0 的算术平方根，因此 = 0. 这就是说，当 a≥0 时，≥0. 因此，二次根式具有双重非负性：≥0（ a≥0 ） 课堂练习 对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a 为被开方数或式，为保证其有意义，可知 a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的双重非负性 二次根式的被开方数或式非负 二次根式的值非负 扩展提升 4.已知 | 3x - y - 1 |和 互为相反数，求 x + 4y 的平方根． 解：由题意得 3x - y - 1 = 0 且 2x + y - 4 = 0． 解得 x = 1，y = 2． ∴ x + 4y = 1 + 2×4 = 9. ∴ x + 4y 的平方根为 ±3. 多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 新知探究 5.已知 y = ，求 3x + 2y 的算术平方根. 解：由题意得 ∴ x = 3. ∴ y =