1.4.2 三角形内角平分线的性质 课件 2023—2024学年北师大版八年级数学下册

第1章 三角形的证明 1.4 角平分线 第2课时 三角形的内角平分线的性质 1.能够理解并证明三角形三条内角平分线的性质定理 2.进一步提高学生的推理能力 1.三角形三条内角平分线性质的应用 2.利用性质定理解决实际问题 教学目标 重难点 做一做 导入新课 做一做1： 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 导入新课 做一做 2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？ 垂线段相等 你能证明这个结论吗？ 探究新知 求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F. 求证：P 点在∠BAC 的角平分线上. A B C P E F M D N 探究新知 证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， 且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为 D，E， ∴PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 同理：PE = PF. ∴PD = PE = PF. ∴点 P 在∠A 的平分线上（在一个 角的内部，到角的两边距离相等的点在 这个角的平分线上）， 即∠A 的平分线经过点 P. 同理∠B、∠C的平分线也经过点P A B C P E F M D N 学习新知 定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三边的距离相等. 几何语言： 如图，在△ABC 中， ∵ BM， CN， AH分别是△ABC的三条角平分线， 且PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC， ∴BM， CN，AH相交于一点P，且PD=PE=PF. A B C F N D M E P H 归纳新知 对比三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 小牛试刀 1. 已知： OE 平分∠AOB，P 为 OE 上一点， PC⊥OA 于 C，且 PC = 5，则 P 点到 OB 的距离为_____. 5 A O E B P C 小牛试刀 2. 已知：如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°， ∠B = 40°， AD 平分∠CAB 交 BC 于 D 点， DE⊥AB 于 E，则∠CAD = _____. 25° A C B D E 巩固练习，提高能力 1. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C、D. 求证：（1）OC = OD； （2）OP 是 CD 的垂直平分线. O C D B P E A 巩固练习，提高能力 证明：（1）P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC = PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中， OP = OP，PC = PD， ∴Rt△OPC≌ Rt△OPD（HL）. ∴OC = OD（全等三角形对应边相等）. O C D B P E A 巩固练习，提高能力 （2）∵ OP 是∠AOB 的角平分线， ∴OP 是 CD 的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理）. O C D B P E A 巩固练习，提高能力 2 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. (1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长； E D A B C 解：∵ AD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB，垂足为 E， ∴ DE = CD = 4 cm. ∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC. ∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE. 在等腰 Rt△BDE 中， 巩固练习，提高能力 (2) 求证：AB＝AC＋CD. 证明：由 (1) 的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED (HL). ∴ AC＝AE. ∵ BE＝DE＝CD， ∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD. E D A B C