1.4.1 角平分线的性质与判定 课件 2023—2024学年北师大版八年级数学下册

第1章 三角形的证明 1.4 角平分线 第1课时 角平分线的性质及判定 1.能够证明角平分线的性质定理及判定定理 2.进一步提高学生的推理能力 1.角平分线性质定理及判定定理的应用 2.角平分线相关定理证明及应用 教学目标 重难点 复习旧知，导入新课 什么叫角平分线？ 如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线. 你还记得角平分线上的点有什么性质吗？ 导入新课 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 你能证明这个定理吗？ 探究新知 已知：如图，∠AOC =∠BOC， 点 P 在 OC 上， PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. 在 △PDO 和 △PEO 中， ∠PDO =∠PEO， ∠AOC =∠BOC， OP = OP， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴ PD = PE. 知识要点 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. B A D O P E C 几何语言： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE PD⊥OA，PE⊥OB， 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 小牛试刀 如图，OP 平分∠AOB，PC ⊥ OA，PD ⊥ OB，垂足分别是 C、D. 下列结论中错误的是（ ） A. PC = PD B. OC = OD C. ∠CPO =∠DPO D. OC = PO D 提出问题 探索新知 思考：你能写出角平分线性质定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上. 这个命题是假命题.角平分线是角内的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点. 此命题增加什么条件可变为真命题呢？ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 探索新知 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 作射线 OP. 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， (全等三角形的对应角相等)， OP = OP ( 公共边 )， PD = PE ( 已知 )， B A D O P E ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL). ∴∠AOP =∠BOP 导入新知 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 几何语言： ∵ PD⊥OA， PE⊥OB， 且PD=PE. ∴ 点P在∠AOB的平分线上. A C B O D P E 小牛试刀 在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长. A B C D E F 小牛试刀 A B C D E F 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF， ∴AD 平分∠ABC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵∠BAC = 60°，∴∠BAD = 30°. ∴在 Rt△ADE 中， ∠AED = 90°，AD = 10， ∴ DE = AD = ×10 = 5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 1 2 1 2 归纳总结 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 巩固练习，提高能力 1.判定正误：(1) ∵ 如下左图，AD 平分∠BAC (已知)， ∴ ＝_____ ( ). 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2) ∵ 如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB