第21章 二次根式-与二次根式有关的最值问题 同步练习 2023-2024学年华东师大版数学九年级上册

第21章 二次根式-与二次根式有关的最值问题 一、单选题(每小题3分,共30分) 1.代数式有( ) A.最大值2 B.最小值2 C.最大值3 D.最小值3 2.如图,正方形的对角线交于点O,点E是直线上一动点.若,则的最小值为( ) A. B. C. D. 3.如图,在中,是的角平分线,点,点分别是边上的动点,点在上,且,则的最小值为( ) A.3 B. C. D. 4.如图,已知正方形的边长为4,是对角线上一点,于点于点,连接.给出下列结论:①;②四边形的周长为10;③;④的最小值是.正确的有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.若-1≤y≤2,则代数式-有( ) A.最大值0 B.最大值3 C.最小值0 D.最小值1 6.如图,在平行四边形中,,点H、G分别是边、上的动点,连接、,点E为的中点,点F为的中点,连接,则的最大值与最小值的差为( ) A.2 B. C. D. 7.已知(x,y均为实数),则y的最大值与最小值的差为( ) A. B. C. D. 8.函数有意义,则x应( ) A.有最小值 B.有最大值 C.可为0 D.不可为 9.如图,正方形的边长为6,点F在边上,且,点E是对角线上的一个动点,则的最小值为( ) A.8 B.10 C. D. 10.安安同学在正三角形中放入正方形和正方形(两个正方形不重叠),使得在边AB上,点P,N分别在边上.下列说法正确的是( ) A.两个正方形边长和的最小值为 B.两个正方形的边长差为3 C.两个正方形面积和的最小值为 D.两个正方形面积和的最大值为 二、填空题(每小题3分,共30分) 11.如图,在Rt中,为边上一点,,垂足分别是,连接,则的最小值为 . 12.代数式的最大值为 . 13.如图,等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD上的动点,E是AB边上一点,且AE=2,则线段EF+CF的最小值为 . 14.如图,在菱形中,,.折叠该菱形,使点A落在边上的点M处,折痕分别与边交于点E、F.当点M在上时,长的最大值为 . 15.阅读以下材料:如果两个正数a,b,即a>0,b>0,则有下面的不等式:,当且仅当a=b时取到等号.则函数y=2x+(x<0)的最大值为 .(提示:可以先求-y的最小值) 16.的最大值m与最小值n的和 . 17.如图,已知菱形的周长为8,面积为为的中点,若为对角线上一动点,记的最大值为,记的最小值为,则 . 18.如图,点A,B在直线EF的同一侧,AC⊥EF于点C,BD⊥EF于点D,AC=2,BD=CD=4.Q是直线EF上的一个动点,AQ+BQ的最小值为a,|AQ-BQ|的最大值为b,则a2+b2的值为 . 19.如图,等腰的直角边长为,,分别为边,上两个动点,且,则的最小值 . 20.如图,正方形的边长为16,点P为上任意一点(可以与B点或C重合),分别过B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别是、、,则的最大值与最小值的和为 . 三、问答题(每小题8分,共40分) 21.阅读材料:我们学习了《二次根式》和《乘法公式》,可以发现:当,时,有,,当且仅当时取等号. 请利用上述结论解决以下问题: (1)当时,的最小值为_;当时,的最大值为_; (2)当时,求的最小值; (3)如图,四边形的对角线、相交于点O,、的面积分别为9和16,求四边形的最小面积. 22.阅读材料: 已知为非负实数,∵, ∴,当且仅当“”时,等号成立. 这个结论就是著名的“均值不等式”,“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用. 例:已知,求函数的最小值. 解:令,,则由,得. 当且仅当,即时,函数取到最小值,最小值为4. 根据以上材料解答下列问题: (1)已知,则当_时,函数取到最小值,最小值为_; (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园,则当这个矩形花园的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短?最短的篱笆的长度是多少米? (3)已知,则自变量取何值时,函数取到最大值?最大值为多少? 23.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用. 例如:已知可取任何实数,试求二次三项式的最小值. 解: ; ∵无论取何实数,都有,∴,即的最小值为2. 请利用上述知识解决以下问题: (1)求代数式的最小值. (2)证明:无论取何实数,二次根式 都有意义. 24.【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验,通过“由特殊到一般”的方法,探究”当时,与的大小关系”. 下面是小单的深究过程: ①具体运算,发现规律: 当时, 特例1:若,则; 特例2:若,则; 特例3:若,则. ②观察、归纳,得出猜想:当时,. ③证明猜想: 当时, ∵, ∴, ∴. 当且仅当时,. 请你利用小华发现的规律解决以下问题: (1)当时,的最小值为 (2)当时,的最小