5.7三角函数的应用（第2课时）（教学设计）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

教学单元 第五章 三角函数 教学内容 5.7三角函数的应用（第2课时） 教学目标 学习目标 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点) 2.实际问题抽象为三角函数模型．(难点) 核心素养 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题，提升数学运算的核心素养； 2．会将实际问题抽象为三角函数模型，培养数学建模的核心素养。 教学重难点 重点：会用三角函数解决一些简单的实际问题； 难点：体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 学情分析 三角函数是一种特殊的周期函数，既可以联系物理、生物、自然界中的周期现象，也可以从已学过的指数函数、对数函数、幂函数等得到启发，还要注意与锐角的三角函数建立联系。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情境导入 生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替、四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象。 匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确的描述它们的运动变化．在现实生活中也有大量运动变化现象，仅在一定范围内呈现出近似于周期变化特点，这些现象也可以借助三角函数近似的描述．     通过开门见山，提出问题，让学生体会由实际问题建立三角函数模型的过程，培养和发展数学建模、数学抽象、直观想象的核心素养。 新知讲授 【知识：三角函数的实际应用】 例1.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b． （1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式． 【解析】（1）图形中的最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标就是这一天6～14时的最大温差，观察图形得出这段时间的最大温差为20℃． （2）由图可知, 通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 例2.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： (1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值（精确到0.001 m）． (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ (3)若船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在两点开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需 0.4 h 才能驶到深水域，那么该船在什么时间必修停止卸货，将船驶向较深的水域？ 【解析】（1）从散点图的形状可以判断，这个港口的水深y与时间x的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h的函数来刻画. 从数据和图形可以得出：A=2.5，h=5，T=12.4，φ=0； 所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数近似描述. （2）货船需要的安全水深为4+1.5=5.5 m．从函数的解析式来看，满足y≥5.5，即2.5sinx+5≥5.5，该船能够进入港口；从图象上看，就是函数y=2.5sinx+5的图象在直线y=5.5上方时，该船能够进入港口． 利用信息技术绘出两个函数的图象,如下图. 求得交点的横坐标分别为： xA≈0.3975，xB≈5.8025，xC≈12.7975，xD≈18.2025． xC，xD也可由函数的周期性得到： xC≈12.4+0.3975=12.7975，xD≈12.4+5.8025=18.2025. 因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右． 事实上为了安全，进港时间要比算出的时间推后一些，出港时间要比算出的时间提前一些，这样才能保证货船始终在安全水域． （3）设在x h时货船的安全水深为y m，那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2)． 从函数的解析式来看，满足y≥5.5-0.3(x-2)，即2.5sinx+5≥5.5-0.3(x-2)时，该船能够进入港口；从图象上看，就是函数y=2.5sinx+5的图象在直线y=5.5-0.3(x-2)上方时，该船能够进入港口． 利用信息技术绘出两个函数的图象，如下图： 可以看到在6～8时之间两个函数只有一个交点P， 借助计算工具，用二分法可以求得点 P 的坐标约为（7.016，3.995）. 因