5.7三角函数的应用（第1课时）（教学设计）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

教学单元 第五章 三角函数 教学内容 5.7三角函数的应用（第1课时） 教学目标 学习目标 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点) 2.实际问题抽象为三角函数模型．(难点) 核心素养 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题，提升数学运算的核心素养； 2．会将实际问题抽象为三角函数模型，培养数学建模的核心素养。 教学重难点 重点：会用三角函数解决一些简单的实际问题； 难点：体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 学情分析 三角函数是一种特殊的周期函数，既可以联系物理、生物、自然界中的周期现象，也可以从已学过的指数函数、对数函数、幂函数等得到启发，还要注意与锐角的三角函数建立联系。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情境导入 现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述. 你能举出生活中具有周期性现象的实例吗？     通过开门见山，提出问题，让学生体会由实际问题建立三角函数模型的过程，培养和发展数学建模、数学抽象、直观想象的核心素养。 新知讲授 【知识一：物理学弹簧中的应用】 问题1:某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y（单位：mm)之间的对应数据如下表所示。试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式。 振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画. 根据已知数据作出散点图，如图所示． 观察散点图，位移y随时间t的变化规律确实可以用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画. A=20，T=60 s，初始状态的位移为-20 mm 由T＝0.6 ，得 解得 再由初始状态(t=0)振子的位移为－20， 可得sinφ =－１, 所以振子位移关于时间的函数解析式为 通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 【知识二：解析式中常见常数A，ω，φ表示的物理量】 现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin（ωx+φ ）,x∈[0，＋∞)表示，其中A＞０， ω ＞０． 这个解析式中的常数A，ω，φ分别表示简谐运动中的什么物理量呢？ 简谐运动y=Asin（ωx+φ ）,x∈[0，＋∞)中 A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 这个简谐运动的周期是了，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 这个简谐运动的频率由公式f=给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相. 通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 【知识三：电学中的应用】 问题2:图(1)是某次实验测得的交变电流i(单位:A)随时间t(单位:s)变化的图象（频率为50HZ）。将测得的图象放大，得到图(2). （1）求电流i随时间t变化的函数解析式； 解:(1)由交变电流的产生原理可知，电流 i 随时间 t 的变化规律可用i=Asin(ωt+φ)来刻画，其中表示频率，A表示振幅，φ表示初相. 由图(2)可知，电流最大值为5A，因此A=5； 电流变化的周期为s，频率为50Hz，即 ，解ω=100π； 再由初始状态(t=0)的电流为4.33A，可得 sin φ=0.866，因此φ约为 . 所以电流随时间变化的函数解析式是 所以 通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 课本练习 1.某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题： （１）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？ （２）写出这个简谐运动的函数解析式. ２．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是 （１）当l=25时，求该沙漏的最大偏角(精确到0.0001)； （２）已知，