专题02 全等三角形（10大考点+过关检测）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）

专题02全等三角形 思维导图 核心考点聚焦 1、 全等图形 2、 全等三角形的性质 3、 全等三角形的判定方法 4、 添加条件使三角形全等 5、 全等三角形的应用 6、 全等三角形与动点问题 7、 角平分线的性质与判定 8、 倍长中线模型 9、 证明线段和差问题 10、常见的辅助线 1、 全等三角形的定义和基本性质 1.基本定义 （1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. （2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. （4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. （5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2．寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法： （1）图形特征法： 最长边对最长边，最短边对最短边； 最大角对最大角，最小角对最小角． （2）位置关系法： ①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边． ②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角． （3）字母顺序法： 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角． 3．全等三角形的性质及应用 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； ③全等三角形对应边上的高、中线、角平分线分别相等； ④全等三角形的周长相等，面积相等． 二、三角形全等的判定方法及思路 1．全等三角形的判定方法： “边边边”定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． “边角边”定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． “角边角”定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． “角角边”定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． “斜边、直角边”定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 2．全等三角形的证明思路： 三、角平分线的性质 1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等． 2.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，通常连接角的顶点和该点就能得到角平分线． 一、全等的几种模型 （1） 平移型 （2）对称型 （3）旋转型 二、常见的几种添加辅助线构造全等三角形的方法 1．倍长中线法 倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长.如图： 已知：在三角形ABC中，O为BC边中点， 辅助线：延长AO到点D使AO＝DO， 结论：△AOB≌△DOC. 证明：如图，延长AO到点D使AO＝DO，由中点可知，OB＝OC， 在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC. 总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的． 2．截长或补短（含有线段－关系或求证两线间关系时常用）． 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段． 基本图形，如下： 在中，平分 （1）在上截取；（2）把延长到点，使. · 考点剖析 考点一、全等图形 例1．如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      考点二、全等三角形的性质 例2．如图，A，E，C三点在同一直线上，且．    (1)求证：； (2)猜想：当满足什么条件时？并证明你的猜想． 考点三、全等三角形的判定方法 例3．如图，点，，，在同一直线上，点A，在异侧，，，． (1)请判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 考点四、添加条件使三角形全等 例4．如图，已知. (1)现要从如下条件中再添加一个①；②；③；④得到．你添加的条件是：________．（填序号） (2)选择（1）中的一种情况进行证明． 考点五、全等三角形的应用 例5．如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离． (1)当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由． (2)如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数． 考点六、全等三角形与动点问题 例6．如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度