清单02 配方法应用的十一大经典题型（11种题型解读（40题））-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

清单02 配方法应用的十一大经典题型 （11种题型解读（40题）） 【知识导图】 【知识清单】 【考试题型1】利用配方法确定二次根式中字母的取值范围 1．当字母取什么值时，有意义？ 【考试题型2】配方法在化简二次根式时的应用 2．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开平方运算是互逆运算．如，那么如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义： 若，则称点为点的“横负纵变点”例：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：______； (3)已知为常数，点且，点是点的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 3．像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简， 如：； 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)请你尝试化简： ①______； ②______． (2)若，且，，为正整数，求的值． 4．你见过像···这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以化简，如： 请用上述方法化简： （1）； （2）． 【考试题型3】配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用 5．对于任意实数x，多项式的值是一个（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定正负的数 6．阅读材料：若，求x、y的值．解：∵， ∴． ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)试说明不论x，y取什么有理数时，多项式的值总是正数． (2)已知a、b满足．求 a、b 的值． 7．用配方法求证：代数式的值恒为正数． 8．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（　　） A．总大于7 B．总不小于9 C．总不小于﹣9 D．为任意有理数 9．已知代数式． (1)当为何值时，代数式A比B的值大2； (2)求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数． 【考试题型4】利用配方法解决最值问题 10．配方法在代数式求值、解方程、求最值问题……中都有着广泛的应用． 例如：若代数式， 利用配方法求M的最小值： ∵，， ∴当时，代数式M有最小值为1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_________； (2)若代数式，求M的最小值； (3)已知，求代数式的值． 11．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法． 例：已知代数式，当　 　时，它有最小值，是　 　． 解： 因为，所以． 所以当时，它有最小值，是． 参考例题，试求： (1)填空：当　 　时，代数式有最小值，是　 　． (2)已知代数式，当为何值时，它有最小值，是多少？ 12．阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下： ∵， ∴， 因此，该式有最小值1． 材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，， 则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9． (1)已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”； (2)已知多项式，（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”． 【考试题型5】配方法与根的判别式综合运用 13．定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断：方程______“差积方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的方程， ①证明：不论取何值，方程总有实数根； ②若该方程是“差积方程”，求的值． 14．已知一元二次方程． (1)当其中一个根为时，求另一个根． (2)证明不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 15．已知关于的一元二次方程． (1)当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根； (2)若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例． 【考试题型6】配方法在恒等