专题02 直线与圆的综合应用问题（九大考点）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（人教A版2019）

专题02 直线与圆的综合应用问题 思维导图 核心考点聚焦 考点一：直线与圆的位置关系的判断 考点二：弦长与面积问题 考点三：切线问题、切线长问题 考点四：切点弦问题 考点五：圆上的点到直线距离个数问题 考点六：圆中的最值（范围）问题 考点七：圆与圆的位置关系 考点八：两圆的公共弦问题 考点九：两圆的公切线问题 一．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 二．直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 三．两圆位置关系的判断 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 考点剖析 考点一：直线与圆的位置关系的判断 例1．（2023·天津滨海新·高二天津市滨海新区田家炳中学校考阶段练习）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 例2．（2023·重庆·高二统考期末）直线l：与圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 例3．（2023·江苏常州·高二校联考期中）若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 例4．（2023·高二课时练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点二：弦长与面积问题 例5．（2023·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）直线被圆截得的弦长为 . 例6．（2023·宁夏银川·高二贺兰县第一中学校联考期中）当直线被圆截得的弦长最短时，实数 ． 例7．（2023·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）设直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是 ． 例8．（2023·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）已知点的坐标为，点是圆上的两个动点，且满足，则面积的最大值为 ． 例9．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知直线与圆相切，且被圆截得的弦长为，则 ； ． 例10．（2023·天津武清·高二统考期中）已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值 . 例11．（2023·北京昌平·高二统考期末）已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为 ． 考点三：切线问题、切线长问题 例12．（2023·贵州·高二统考阶段练习）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则 . 例13．（2023·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考期中）写出过点且与圆相切的直线方程 . 例14．（2023·江苏镇江·高二校考阶段练习）已知圆，自点作圆的切线，则切线的方程 ． 例15．（2023·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考阶段练习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长（此点到切点的线段长）的最小值为 ． 考点四：切点弦问题 例16．（2023·河北·高二校联考期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 例17．（2023·全国·高三专题练习）从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为 ． 例18．（2023·湖北·高三统考阶段练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 . 例19．（