对数函数讲义-2024届高三艺术生数学一轮复习

12.6 对数函数 一．对数的概念和公式 (1) 一般地，如果 ax＝N (a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝ ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． (2)以10为底的对数叫做 常用对数 ，记作 lg N ． (3)以e为底的对数叫做 自然对数 ，记作 lnN . （4）常用公式 ★loga1＝ 0 (a＞0，且a≠1)． logaa＝ 1 (a＞0，且a≠1)． 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 ①loga(M·N)＝ ； ②loga＝ ； ③logaMn＝ (n∈R)． ④logamMn＝logaM (n∈R，m≠0)． ⑤ logab＝（a、b均大于0且不等于1)． ⑥ (a＞0，且a≠1)． 换底公式 logab＝ (a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)． 二、对数函数的图象与性质 概念 函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 （0，+∞） 值域 R 性质 过定点（1,0），即x＝1时，y＝0 在R上是增函数 在R上是减函数 1、对数公式的应用 【例1】 （1）= 　　　　　　　 【解析】原式== （2）设函数 ，则的值为（ ） A． B． C． D．12 【解析】因为，所以== ，故选C. 【变式探究1】 （1）的值是（ ） A． B．1 C． D．2 （2）设函数,( ) A．3 B．6 C．9 D．12 （3）设函数，求（ ） A．8 B．15 C．7 D．16 2、对数不等式及定义域 【例2】求函数的定义域 ． 【解析】要使式子有意义，则，即，根据对数函数的单调性则0<4x-3≤1，解得，所以函数的定义域为． 【变式探究2】 （1）函数y=的定义域为（ ） A．(，＋∞) B．［1，＋∞ C．(，1 D．(－∞，1) （2）设集合等于（ ） A． B． C． D． （3）函数的定义域为（ ） A．(1,2)∪(2,3) B． C．（1，3） D．[1，3] 3、比较大小 【例3】（1）设，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，，所以，，又，所以，即，所以，故选D． （2）已知， ， ，则a, b, c的大小关系为( ) A． B． C． D． 【解析】因为，所以由指数函数的性质可得， ，因此,故选A. 【变式探究3】 （1）已知，，，则的大小关系为（ ） A．a>b>c   B．b>a>c   C．c>b>a   D．c>a>b （2）已知，，，则a，b，c的大小关系为( ) A．a>b>c   B．b>a>c   C．c>b>a   D．c>a>b （3）已知，，，则( ) A．a>b>c   B．b>a>c   C．c>a>b   D． c>b>a （4）设，，（其中是自然对数的底数），则( ) A． B． C． D． 4、图像性质与单调性 【例4】 函数 的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【解析】函数有意义，则： ，解得： 或 ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 . 故选D. 【变式探究4】 （1）函数y＝loga(x－2)+1(a＞0，a≠1)的图象经过定点A，则A点坐标是 （2） 函数的单调递增区间为(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，1) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(0，＋∞) （3）已知，则是( ) A．偶函数，且在是增函数 B．奇函数，且在是增函数 C．偶函数，且在是减函数 D．奇函数，且在是减函数 习题： 12.6 对数函数 一、对数公式 1．已知函数，若，则________． 2、已知函数 ，且，则（ ） （A） （B） （C） （D） 3、计算： ，