5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换(二)-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教A版）

第2课时　简单的三角恒等变换(二) 选题明细表 知识点、方法 题号 三角恒等变换与三角函数 性质的综合 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 三角函数在平面几何中的应用 12,15 基础巩固 1.函数f(x)=sin-cos的最小正周期和最大值分别是(　C　) A.3π和 B.3π和2 C.6π和 D.6π和2 解析:因为f(x)=sin-cos=sin(-),所以T==6π.当sin(-)=1时,函数f(x)取得最大值.所以函数f(x)的周期为6π,最大值为.故选C. 2.设函数f(x)=sin x-cos x,则下列函数中为偶函数的是(　B　) A.f(x+) B.f(x-) C.f(x+) D.f(x-) 解析:因为f(x)=sin x-cos x=2sin(x-), 所以f(x+)=2sin(x+-)=2sin(x+)为非奇非偶函数,故A错误; f(x-)=2sin(x--)=2sin(x-)=-2cos x为偶函数,故B正确; f(x+)=2sin(x+-)=2sin x为奇函数,故C错误; f(x-)=2sin(x--)=2sin(x-)为非奇非偶函数,故D错误.故选B. 3.函数f(x)=cos x+sin(x-)在区间[0,π]上的最小值为(　D　) A.1 B.-1 C. D.- 解析:f(x)=cos x+sin x-cos x=sin x+cos x=sin(x+), 故当x∈[0,π]时,x+∈[,], 故当x+=时,f(x) 取得最小值sin=-.故选D. 4.函数y=3sin 4x+cos 4x的最大值是(　B　) A. B.2 C.3 D.6 解析:y=3sin 4x+cos 4x =2(sin 4x+cos 4x) =2sin(4x+), 所以ymax=2.故选B. 5.函数f(x)=sin xcos(x-)的最小正周期是　　　　.  解析:f(x)=sin xcos x+sin2x=(sin 2x-cos 2x)+= sin(2x-)+, 所以f(x)的最小正周期是T==π. 答案:π 6.已知x∈(0,),则函数f(x)=(1+sin x)(1+cos x)的最大值为　　　　　.  解析:f(x)=(1+sin x)(1+cos x)=1+sin x+cos x+sin xcos x, =1+sin x+cos x+, 令t=sin x+cos x=sin(x+), 因为x∈(0,),所以x+∈(,), 所以sin(x+)∈(,1],所以t=sin(x+)∈(1,], 所以g(t)=t2+t+,t∈(1,],对称轴t0=-1<1, 所以g(t)=t2+t+在(1,]上单调递增, 所以当t=时,g(t)max=g()=+, 所以当sin(x+)=1,即x=时, f(x)=(1+sin x)(1+cos x)取得最大值+. 答案:+ 7.(1)求f(x)=5cos 2x-12sin 2x的最小正周期、最大值和最小值; (2)已知函数f(x)=2sin x+3cos x在x=处取得最大值,求cos . 解:(1)因为f(x)=5cos 2x-12sin 2x=13(cos 2x-sin 2x)= 13cos(2x+), 其中cos =,sin =, 所以f(x)的最小正周期为T=π,最大值为13,最小值为-13. (2)f(x)=2sin x+3cos x=(sin x+cos x)=sin(x+θ), 其中cos θ=,sin θ=, 因为在x=处取得最大值,所以+θ=+2kπ,k∈Z,即=-θ+2kπ, k∈Z, 所以cos =cos(-θ+2kπ)=sin θ=. 能力提升 8.(多选题)已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x(x∈R),则(　BD　) A.f(x)的最小值为0 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)的图象关于点(,0)中心对称 D.f(x)的图象关于直线x=-对称 解析:f(x)=sin2x+sin xcos x(x∈R)=+sin 2x=sin 2x- cos 2x+=sin(2x-)+. 对于A,当sin(2x-)=-1时,f(x)取得最小值,所以A错误; 对于B,f(x)的最小正周期为=π,所以B正确; 对于C,由2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,所以f(x)的图象的对称中心为(+,)(k∈Z),所以C错误; 对于D,由2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,所以f(x)的图象的对称轴方程为x=+,k∈Z,当k=-1时,x=-,所以f(x)的图象关于直线x=-对称,所以D正确.故选BD. 9.(多选题)已知函数f(x)=,则(　AD　) A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的