2.2 第2课时 基本不等式的应用(习题课)-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教A版）

第2课时　基本不等式的应用(习题课) 选题明细表 知识点、方法 题号 基本不等式的实际应用 2,3,4,7,14,15 利用基本不等式求 (隐含)条件最值 1,8,9,10,11,12 基本不等式在恒成 立问题中的综合应用 5,6,13,16 基础巩固 1.已知x>0,y>0,且4x+y=4,则+的最小值为(　B　) A.3 B. C.25 D.12 解析:因为x>0,y>0,且4x+y=4, 所以+=(4x+y)(+)=(13++)≥(13+2)=, 当且仅当=时,取等号,即当x=,y=时,取等号.故选B. 2.如图所示,矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上,另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4,则围成矩形ABCD所需要篱笆的(　B　) A.最小长度为8 B.最小长度为4 C.最大长度为8 D.最大长度为4 解析:设BC=a,CD=b, 因为矩形的面积为4,所以ab=4, 所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为 2a+b=2a+≥2=4, 当且仅当2a=,即a=时,等号成立,即所需要篱笆的最小长度为4.故选B. 3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是(　C　) A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m 解析:设两直角边长分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,则ab=2,所以ab=4,l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m),当且仅当a=b=2时,等号成立.故C既够用,浪费也最少.故选C. 4.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为900元,若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(　B　) A.30件 B.60件 C.80件 D.100件 解析:根据题意,生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是900+x·=900+x2,设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y, 则y==+(x∈N*), 由基本不等式,得+≥2=30, 当且仅当=,即x=60时,等号成立, 即每批生产产品60件时,平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.故选B. 5.若不等式x2-ax+1≥0对于一切x>0恒成立,则a的最大值为 　　　　. 解析:不等式x2-ax+1≥0对于一切x>0恒成立,即a≤x+在x>0上恒成立. 又x+≥2=2,当且仅当x==1时,取等号.故a≤2,即a的最大值为2. 答案:2 6.若任意的正数x,y都能使k≤4x+y成立,则k的取值范围是 　　　　. 解析:因为x>0,y>0,且k≤4x+y恒成立,所以k≤=4+,因为4+≥2=4,当且仅当4=,即y=4x时,取等号,所以k≤4. 答案:{k|k≤4} 7.中国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a=6,b+c=8,则此三角形面积的最大值为　　　　. 解析:由题意知,p=7,S==≤· =3, 当且仅当7-b=7-c,即b=c=4时,等号成立,因此三角形面积的最大值为3. 答案:3 8.若实数x,y满足:x,y>0,3xy-x-y-1=0,求xy和x+y的取值范围. 解:因为3xy-x-y-1=0,所以3xy-1=x+y,又x,y>0, 所以3xy-1=x+y≥2, 故3xy-2-1≥0, 所以(3+1)(-1)≥0, 又3+1>0, 所以≥1,所以xy≥1, 所以x+y=3xy-1≥3×1-1=2, 当且仅当x=y,且3xy-x-y-1=0,即x=y=1时,等号成立. 所以xy≥1,x+y≥2. 能力提升 9.已知x>0,y>0,满足x2+2xy-1=0,则3x+2y的最小值是(　D　) A. B. C.2 D.2 解析:由x2+2xy-1=0,得y=,而x>0,y>0,则有0<x<1, 因此,3x+2y=3x+=2x+≥2=2,当且仅当2x=,即x=时,取等号, 所以3x+2y的最小值为2.故选D. 10.(多选题)已知a>0,b>0,且a+2b=1,则(　BC　) A.ab的最大值为 B.+的最小值为9 C.a2+b2的最小值为 D.(a+1)(b+1)的最大值为2 解析:a>0,b>0,2≤a+2b=1⇒ab≤,当且仅当a=2b,即a=,b=时,取等号,A错误; +=(+)·(a+2b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a= b=时,取等号,B正确; a2+b2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+1=5(b-)