2.2 第1课时 基本不等式-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教A版）

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 选题明细表 知识点、方法 题号 基本不等式的理解 1,2 利用基本不等式求简单的最值 3,4,5,6,7,8 利用基本不等式求较复杂的最值 9,10,12,13,14 利用基本不等式证明及综合应用 11,15,16 基础巩固 1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中可使+≥2成立的个数是(　C　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:根据基本不等式的条件,a,b同号,则>0.故选C. 2.下列不等式中,正确的是(　D　) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2 解析:当a<0时,a+≥4不成立;当a=1,b=1时,a2+b2<4ab;当a=4,b=16时,<;由基本不等式可知D项正确.故选D. 3.已知a>0,b>0,ab=4,则a+b的最小值是(　B　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:因为a>0,b>0,ab=4, 所以a+b≥2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立.故选B. 4.已知a>0,b>0且2a+5b=10,则ab的最大值为(　D　) A.2 B.5 C. D. 解析:因为2a+5b=10≥2,所以ab≤,当且仅当a=,b=1时,等号成立, 所以ab的最大值为.故选D. 5.已知x>0,则4-2x-的最大值为(　C　) A.-2 B.-1 C.0 D.2 解析:当x>0时,x+≥2=2(当且仅当x=1时,等号成立), 则4-2x-=4-2(x+)≤0,当且仅当x=1时,等号成立,即4-2x-的最大值为0.故选C. 6.若a>1,则a+的最小值为　　　　,此时a=　　　　. 解析:因为a>1,所以a-1>0, a+=a-1++1≥2+1=3,当且仅当a-1=,即a=2时,取等号. 答案:3　2 7.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则xy的最大值是　　　　. 解析:因为x>0,y>0,且x+2y=4, 则4=x+2y≥2, 解得xy≤2,当且仅当x=2,y=1时,取等号,所以xy的最大值是2. 答案:2 8.(1)已知x>0,求y=的最小值; (2)已知0<x<,求y=x(1-3x)的最大值. 解:(1)y==x++5, 因为x>0,所以x+≥2=4, 当且仅当x=,即x=2时,等号成立. 所以x++5≥9. 所以y=的最小值为9. (2)y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤=, 当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立, 所以y=x(1-3x)的最大值为. 能力提升 9.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)(1+2y)的最大值为(　B　) A.16 B.9 C.4 D.36 解析:(1+x)(1+2y)≤[]2=()2=9,当且仅当1+x=1+2y,即x=2,y=1时,等号成立,故所求最大值为9.故选B. 10.(多选题)设正实数a,b满足a+b=1,则(　ACD　) A.+有最小值4 B.有最小值 C.+有最大值 D.a2+b2有最小值 解析:选项A,+=(a+b)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时,取等号,故A正确; 选项B,≤=,当且仅当a=b=时,取等号,所以有最大值,故B错误; 选项C,(+)2=a+b+2=1+2≤2,所以+≤,当且仅当a=b=时,取等号,故C正确; 选项D,由=≤,化简得,a2+b2≥,当且仅当a=b=时,取等号,故D正确.故选ACD. 11.(多选题)若a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是(　AD　) A.a2+b2+c2≥1 B.a+b+c≤ C.++≤2 D.(a+b+c)2≥3 解析:由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca=1,故A正确; 取a=2,b=1,c=-,满足ab+bc+ca=1,显然a+b+c>,故B错误; 取a=b=c=,满足ab+bc+ca=1,但++=3>2,故C错误; (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)=3,故D正确.故选AD. 12.的最小值是　　　　,取最小值时,x=　　　　. 解析:令t=≥1,则y==t+≥4,当且仅当t=2,即x=±时,等号成立,所以y=的最小值是4. 答案:4　± 13.若x>0,则有最　　　　值,且此最值是　　　　. 解析:因为x>0,所以=,而x+≥2=2(当且仅当x=1时,取等号),因此0<≤,故有最大值,最大值为. 答案:大　 14.(1)已知x,y为正实数,求+的最小值; (2)已知y=(x>-1),求y的最小值. 解:(1)因为x,y为正实数, 所以+=+=+2+-2≥2-2=2-2=4, 当且仅当+2=,即x