第五章 三角函数 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

章末总结 判断对错(正确的打“√”,错误的“×”). 1.sin(+α)=sin α的充要条件是k是偶数.(　×　) 2.对任意α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin β都不成立.(　×　) 3.正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域都是R.(　×　) 4.函数y=|sin x|和y=|sin x+|的最小正周期相等.(　×　) 5.函数y=sin|x|和y=cos|x|都是周期函数.(　×　) 6.函数y=sin x和y=tan x的图象在区间(-,)内只有一个交点.(　√　) 7.只通过平移变换可由y=sin x的图象得到y=sin x+cos x的图象.(　×　) 题型一　三角函数式的化简、求值 [例1] (1)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cos(α+)sin β,则(　　) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 (2)(2021·全国甲卷)若α∈(0,),tan 2α=,则tan α等于(　　) A. B. C. D. (3)(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ+sin(θ+)=1,则sin(θ+)等于(　　) A. B. C. D. (4)(2020·全国Ⅲ卷)已知2tan θ-tan(θ+)=7,则tan θ等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:(1)由题意得sin αcos β+sin βcos α+cos αcos β-sin αsin β=2×(cos α-sin α)·sin β,整理,得sin αcos β-sin β cos α+cos αcos β+sin αsin β=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1.故选C. (2)法一　因为tan 2α==,且tan 2α=,所以=,解得sin α=.因为α∈(0,),所以cos α=,tan α==.故选A. 法二　因为tan 2α=== =,且tan 2α=,所以=,解得sin α=.因为α∈(0,),所以cos α=,tan α==.故选A. (3)因为sin θ+sin(θ+)=sin θ+cos θ=sin(θ+)=1, 所以sin(θ+)=.故选B. (4)由已知得2tan θ-=7,得tan θ=2.故选D. (1)化简三角函数式的常用方法有: ①直接应用公式;②弦切互化;③异角化同角;④特殊值与特殊角的三角函数互化;⑤通分、约分;⑥配方去根号. (2)求值一般包括: ①给角求值;②给值求值;③给值求角. (3)掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用. 题型二　三角函数的图象与性质 [例2] (1)(2022·新高考 Ⅰ 卷)记函数f(x)=sin(ωx+)+b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π,且y=f(x)的图象关于点(,2)中心对称,则f()等于(　　) A.1 B. C. D.3 (2)(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中,函数f(x)=7sin(x-)单调递增的区间是(　　) A.(0,) B.(,π) C.(π,) D.(,2π) (3)(2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=cos(ωx+)在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为(　　) A. B. C. D. (4)(多选题)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y=sin(ωx+)的部分图象,则sin(ωx+)等于(　　) A.sin(x+) B.sin(-2x) C.cos(2x+) D.cos(-2x) (5)(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0,0<<π)的最小正周期为T.若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　.  解析:(1)因为<T<π,所以<<π,解得2<ω<3.因为y=f(x)的图象关于点(,2)中心对称,所以b=2,且sin(ω+)+b=2,即sin(ω+)=0,所以ω+=kπ(k∈Z),又2<ω<3,所以<ω+<,所以ω+=4π,解得ω=,所以f(x)=sin(x+)+2,所以f()=sin(×+)+2=sin+2=1.故选A. (2)法一(常规求法)　令-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.取k=0,则-≤x≤.因为(0,)⫋[-,],所以区间(0,)是函数f(x)的单调递增区间.故选A. 法二(判断单调性法)　当0<x<时,-<x-<,所以f(x)在(0,)上单调递增,故A正确;当<x<π时,<x-<,所以f(x)在(,π)上不单调,故B不正确;当π<x<时,<x-<,所以f(x)在(π,)上单调递减,故C不正确;当<x<2π时,<x-<,所以f(x)在(,2π)上不单调,故D不正确.