第三章 函数的概念与性质 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

章末总结 判断对错(正确的打“√”,错误的打“×”). 1.一般地,在函数f(t),f((x)),f(g(x))中,t,(x),g(x)的范围相同.(　√　) 2.若两个函数在对应的区间上单调性同增或同减,则y=f(g(x))为增函数;若一增一减,则y=f(g(x))为减函数.(　√　) 3.在定义域的公共部分内,两个增函数的和是增函数,两个增函数的积是增函数.(　×　) 4.在定义域的公共部分内,两个奇函数的和是奇函数;两个偶函数的和是偶函数;两个奇函数的积为偶函数;两个偶函数的积为偶函数;一奇一偶函数之积为奇函数.(　√　) 5.函数y=f(x)的定义域关于原点对称,则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数,G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.(　√　) 6.所有幂函数的图象都过点(0,0)和点(1,1).(　×　) 题型一　函数的定义域 [例1] (1)函数y=f(x)的定义域是[-1,3],则函数g(x)=的定义域是(　　) A.[0,2] B.[-3,5] C.[-3,-2)∪(-2,5] D.(-2,2] (2)(2022·北京卷)函数f(x)=+的定义域是　　　　.  解析:(1)因为y=f(x)的定义域是[-1,3], 所以即 解得0≤x≤2, 所以函数g(x)的定义域为[0,2].故选A. (2)因为f(x)=+,所以解得x≤1且x≠0, 故函数的定义域为(-∞,0)∪(0,1]. 答案:(1)A　(2)(-∞,0)∪(0,1] (1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合. (2)函数f((x))的定义域还是指x的取值范围,而不是(x)的取值范围. (3)已知f(x)的定义域是A,求f((x))的定义域,其实质是已知f((x))中的(x)的取值范围为A,求出x的取值范围. (4)已知f((x))的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知f((x))中x的取值范围为B,求出(x)的取值范围(值域),此范围就是f(x)的定义域. 题型二　函数的值域 [例2] (1)已知a,b∈[0,2],则a2-a+|b-a|的最大值为(　　) A.3 B. C.4 D. (2)已知函数f(x)=|x+-m|(x∈[1,4]),则f(x)的最大值g(m)的最小值是(　　) A. B. C.1 D.2 (3)已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x2+2x+6,则(　　) A.f(x)的最小值为2 B.∃x∈R,<2 C.f(x)的最大值为2 D.∀x∈R,<2 (4)(2022·北京卷)设函数f(x)=若f(x)存在最小值,则a的一个取值为　　　　;a的最大值为　　　　.  解析:(1)令f(a)=a2-a,a∈[0,2], 该函数的对称轴方程为a=,则由二次函数的单调性可知, 当a=2时f(a)max=22-2=2, 又a,b∈[0,2],当a=2时,取b=0,可得|b-a|取最大值2, 所以a2-a+|b-a|的最大值为2+2=4.故选C. (2)令t=x+(x∈[1,4]),由对勾函数性质知,x∈[1,2]时,函数t=x+单调递减,x∈(2,4]时,函数t=x+单调递增,所以可得t∈[4,5],令F(t)=|t-m|,t∈[4,5], 所以当m≤时,函数f(x)的最大值为g(m)=F(5)=|5-m|=5-m≥, 当m>时,函数f(x)的最大值为g(m)=F(4)=|4-m|=m-4>, 所以函数g(m)的最小值是.故选B. (3)因为2f(x)+f(-x)=3x2+2x+6,2f(-x)+f(x)=3x2-2x+6, 所以f(x)=x2+2x+2. 所以f(x)=(x+1)2+1≥1,所以f(x)的最小值为1,无最大值,故A,C错误. 对选项B,=2-, 因为x2+2x+2=(x+1)2+1≥1,所以2-<2,即<2, 故B正确. 对选项D,=2+, 因为x2+2x+2=(x+1)2+1≥1,所以2+>2,即>2, 故D错误.故选B. (4)当a=0时,函数f(x)=存在最小值0,所以a的一个取值可以为0; 当a<0时,若x<a,f(x)=-ax+1,此时函数f(x)不可能存在最小值; 当0<a≤2时,若x<a,则f(x)=-ax+1,此时f(x)∈(-a2+1,+∞),若x≥a,则f(x)=(x-2)2∈[0,+∞),若函数f(x)存在最小值,则-a2+1≥0,得0<a≤1; 当a>2时,若x<a,则f(x)=-ax+1,此时f(x)∈(-a2+1,+∞),若x≥a,则f(x)=(x-2)2∈[(a-2)2,+∞),若函数f(x)存在最小值,则-a2+1≥(a-2)2,此时不等式无解. 综上,0≤a≤1,所以a的最大值为1. 答案:(1)C　(2)B　(3)B (4)0(答案不唯一)