5.7 三角函数的应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

5.7　三角函数的应用 学习目标 通过实际问题,构建三角函数的数学模型,提升数学抽象、数学运算和数学建模素养. 　三角函数的应用 (1)函数y=Asin(ωx+),A>0,ω>0中参数的物理意义. (2)三角函数模型的应用. ①三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用. ②实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多门学科的知识才能完成,因此在应用数学知识解决实际问题时,不仅要注意从复杂的实际背景中抽取基本的数学关系,而且还要调动相关学科知识来解决问题. ③建立三角函数模型的步骤如下: 三角函数在生活中的应用 [例1] 已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:m)是时间t(单位:时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),如表是某日各时的浪高数据: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acos ωt+b的图象. (1)根据以上数据,求其最小正周期、振幅及函数解析式; (2)根据规定,当海浪高度大于1 m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多长时间可供冲浪者进行活动? 解:(1)由题表中数据可知,T=12,所以ω=. 当t=0时,y=1.5,所以A+b=1.5, 当t=3时,y=1.0,得b=1.0, 所以振幅为, 所以函数解析式为y=cost+1(0≤t≤24). (2)因为当y>1时,才对冲浪爱好者开放, 所以y=cost+1>1,即cost>0, 由2kπ-<t<2kπ+(k∈Z), 得12k-3<t<12k+3(k∈Z). 又0≤t≤24, 所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24, 所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动,即9<t<15. 解三角函数应用问题的基本步骤 提醒:(1)实际问题中要注意函数的定义域. (2)建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的,这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析. 针对训练1:某市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价进行了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足y=500sin(ωx+)+9 500(ω>0,>0),已知第一、第二季度平均单价如表所示: x 1 2 y 10 000 9 500 则此楼群在第三季度的平均单价大约是(　　) A.10 000元 B.9 500元 C.9 000元 D.8 500元 解析:由题中表格数据可得, T=2-1,则T=4,得ω==, 当x=1时,y=10 000, 得500sin(+)+9 500=10 000, 得=2kπ,k∈Z. 所以当x=3时,y=500sin(+2kπ)+9 500=9 000(元).故选C. 三角函数在物理中的应用 [例2] 已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+). (1)如图所示的是I=Asin(ωt+)(ω>0,||<)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=Asin(ωt+)的解析式; (2)如果t在任意一段s的时间内,电流I=Asin(ωt+)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少? 解:(1)由题图知A=300, 设t1=-,t2=, 则周期T=2(t2-t1)=2×(+)=. 所以ω==150π. 又当t=时,I=0, 即sin(150π·+)=0,而||<, 所以=. 故所求解析式为I=300sin(150πt+). (2)依题意,周期T≤,即≤(ω>0), 所以ω≥300π>942,又ω∈N*, 故所求最小正整数ω=943. 在物理学中,物体做简谐运动时可用正弦型函数y=Asin(ωx+)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律,A为振幅,表示物体离开平衡位置的最大距离,T=为周期,表示物体往复运动一次所需的时间,f=为频率,表示物体在单位时间内往复运动的次数. 针对训练2:如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系是s=Asin(ωt+)(A>0,ω>0,0<<),根据图象,求: (1)函数解析式; (2)单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少? (3)单摆来回摆动一次需要多长时间? 解:(1)由题意,-=T,所以T=1, 所以=1,所以ω=2π, 因为当t=时,s最大, 所以2π×+=,所以=, 因为当t=0时,s=3,所以A=6, 所以s=6sin(2πt+). (2)因为A=6,所以单摆摆动到最