5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换(二)-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

第2课时　简单的三角恒等变换(二) 辅助角公式 一般地,对于y=asin x+bcos x, 第一步:提常数,提取, 得到y=(sin x+cos x); 第二步:定角度,确定一个角满足cos =,sin =, 得到y=(sin xcos +cos xsin ); 第三步:合并,由和角公式化为一个三角式的辅助角公式, y=asin x+bcos x=sin(x+), 该函数的最大值为,最小值为-. 三角恒等变换与三角函数综合 [例1] 已知函数f(x)=2sin xcos x-2sin2x+3. (1)若角α的顶点在坐标原点O,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆(圆心为坐标原点O)交于点P(-,),求f(α)的值; (2)当x∈[-,]时,求函数f(x)的值域. 解:(1)因为角α的终边与单位圆交于点P(-,),则sin α=,cos α=-, 故f(α)=2sin αcos α-2sin2α+3=. (2)函数f(x)=2sin xcos x-2sin2x+3 =sin 2x-(1-cos 2x)+3 =sin 2x+cos 2x+2 =2sin(2x+)+2, 因为x∈[-,], 所以2x+∈[-,], 则sin(2x+)∈[-,1], 故函数f(x)的值域为[2-,4]. 可化为f(x)=asin2ωx+bsin ωxcos ωx+ccos2ωx的函数形式时,常利用降幂公式sin2=,cos2=,sin αcos α=sin 2α,将函数统一化成f(x)=msin 2ωx+ncos 2ωx+k的形式后再利用辅助角公式化为f(x)=Asin(2ωx+)+k的形式,研究其性质. 针对训练1:已知f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)的单调递增区间; (3)求x∈[0,]时,f(x)的最大值和最小值. 解:函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=sin(2x+). (1)f(x)的最小正周期为T==π. (2)f(x)=sin(2x+), 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z. (3)因为x∈[0,],所以2x+∈[,], 当2x+=,即x=时,f(x)max=. 当2x+=,即x=时,f(x)min=-1. 三角函数在平面几何中的应用 [例2] 如图,半圆的直径为2,D为半圆弧上一点,线段DC与半圆相切,且DC=2,设∠BAD=α. (1)用α表示四边形ABCD的面积S; (2)当α为何值时,S取得最大值?最大值为多少? 解:(1)如图,连接OD, 因为CD是切线, 所以OD⊥CD, 又∠ADB=90°(直径所对的圆周角), 所以∠BDC=∠ODA, 而由OD=OA知∠ODA=∠BAD=α, 所以∠BDC=α, 在Rt△ABD中, AD=2cos α,BD=2sin α, 所以S△ADB=×2cos α×2sin α=sin 2α, S△BDC=BD·CDsin∠BDC=×2sin α×2sin α=2sin2α=1-cos 2α, 所以S=S△ADB+S△BDC= sin 2α+1-cos 2α,α∈(0,). (2)由(1)知,S=sin 2α+1-cos 2α=sin(2α-)+1, 所以当2α-=,即α=时, Smax=+1, 所以当α=时,四边形ABCD的面积S取得最大值,最大值为 +1. 解决有关三角函数的实际问题,应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量,建立含有角α的三角函数关系式,再利用三角函数的变换、性质等进行求解.要注意结合实际问题确定自变量的范围. 针对训练2:如图,OPQ是半径为2、圆心角为的扇形,C是扇形弧上的一动点,记∠COP=θ,四边形OPCQ的面积为S. (1)找出S与θ的函数关系; (2)试探求当θ取何值时,S最大,并求出这个最大值. 解:(1)S=S△POC+S△OQC=OP·OC·sin∠POC+OQ·OC·sin ∠QOC =2sin θ+2sin(-θ),θ∈(0,). (2)由(1)知S=2sin θ+2sin(-θ) =2sin θ+cos θ-sin θ =sin θ+cos θ =2(sin θ+cos θ) =2sin(θ+),θ∈(0,). 因为θ∈(0,), 所以θ+∈(,), 故当且仅当θ+=,即θ=时,S最大,且最大值为2. 1.函数f(x)=sin(x+)+cos(x-)的最大值是(　A　) A. B. C.1 D. 解析:f(x)=sin(x+)+cos(x-)=(sin xcos+cos xsin)+(cos xcos+sin xsin)=sin x+c