5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

第3课时　二倍角的正弦、余弦和正切公式 　二倍角的正弦、余弦、正切公式 三角函数 公式 简记 正弦 sin 2α=2sin αcos α S2α 续　表 三角函数 公式 简记 余弦 cos 2α=cos2α-sin2α =2cos2α-1=1-2sin2α C2α 正切 tan 2α= T2α 给角求值 [例1] 求下列各式的值. (1)(cos -sin )(cos +sin ); (2); (3)tan 15°+; (4)1-cos2. 解:(1)原式=cos2-sin2=cos(2×)=cos =. (2)原式===. (3)原式=+====4. (4)1-cos2=-(2cos2-1)+ =-cos =-. 应用二倍角公式求解角的三角函数值的方法 (1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用二倍角公式. (2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造二倍角公式的形式. (3)切弦同时存在时,应注意用tan α=公式“切化弦”. (4)注意sin αcos α=sin 2α,sin2α=(1-cos 2α),cos2α=(1+cos 2α)的应用. 针对训练1:求下列各式的值. (1)coscosπ; (2)-cos215°; (3). 解:(1)原式=cossin=sin=. (2)原式=-(2cos215°-1)=-cos 30°=-. (3)原式==·= ·tan 45°=. 给值求值 [例2] 已知cos(α+)=,≤α<,求sin 2α,cos 2α的值. 解:因为≤α<, 所以≤α+<. 因为cos(α+)>0,所以<α+<, 所以sin(α+)=-=-=-. 所以cos 2α=sin(2α+) =2sin(α+)cos(α+) =2×(-)×=-, sin 2α=-cos(2α+) =1-2cos2(α+) =1-2×()2=. (1)已知α的某个三角函数值,求2α的三角函数值,应先根据α的范围,求出α的其他三角函数值,再根据二倍角公式求2α的三角函数值. (2)若已知α与一个确定的角(如,,等)的和差三角函数值,求2α与一个确定角的三角函数值,应分析已知角与待求角之间的关系,根据式子特点,构造出二倍角的形式后,整体代入求解. (3)由于-α与+α互余,因此涉及与-α和+α有关的三角函数求值问题,可先用诱导公式减少角的种类或将-α与+α均化为α的三角函数,再结合诱导公式及三角函数关系式求解. 针对训练2:已知cos =-,8π<α<12π,求sin ,cos ,tan 的值. 解:因为8π<α<12π, 所以π<<. 又由cos =-, 得sin =-=-, 所以sin =sin(2×)=2sin cos =2×(-)×(-)=, cos =cos(2×)=cos2-sin2=(-)2-(-)2=, tan ==. 倍角公式的综合运用 [例3] 已知2sin α=2sin2-1. (1)求sin αcos α+cos 2α的值; (2)已知α∈(0,π),β∈[0,],且tan2β-6tan β=1,求α+2β的值. 解: (1)因为2sin α=2sin2-1, 所以2sin α=-cos α,所以tan α=-, 所以sin αcos α+cos 2α===. (2)由tan2β-6tan β=1,可得tan 2β===-, 则tan(α+2β)===-1, 因为β∈[0,],所以2β∈[0,π], 又tan 2β=->-,则2β∈(,π], 因为α∈(0,π),tan α=->-, 则α∈(,π),所以α+2β∈(,2π),所以α+2β=. 要结合之前所学的所有的公式,对它们灵活运用,进行合理的角的变换,在解决具体问题时,要注意题目中的隐含条件,要会对三角函数值的符号进行判断. 针对训练3:已知tan α=-. (1)求的值; (2)若tan(α-β)=,求tan(3α-2β)的值. 解: (1)因为tan α=-, 所以cos α≠0且sin α+cos α≠0, 所以===tan α=-. (2)因为tan(α-β)=, 所以tan(2α-2β)==, 所以tan(3α-2β)=tan[α+(2α-2β)]==. 1.已知cos x=-,x为第二象限角,那么sin 2x=(　C　) A.- B.± C.- D. 解析:因为cos x=-,x为第二象限角, 所以sin x=,所以sin 2x=2sin xcos x=2××(-)=-.故选C. 2.计算-sin215°=(　D　) A. B. C. D. 解析:原式=-==.故选D. 3.化简×cos 28°的结果为(　A　) A. B.sin 28° C.2sin 28°