5.5.1 第2课时 两角和与差的正切公式及和角、差角公式的综合应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

第2课时　两角和与差的正切公式及和角、差角公式的综合应用 两角和与差的正切公式 名称 简记 符号 公式 适用条件 两角和 的正切 公式 T(α+β) tan(α+β)= α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)且tan α·tan β ≠1 续　表 名称 简记 符号 公式 适用条件 两角差 的正切 公式 T(α-β) tan(α-β)= α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)且tan α·tan β ≠-1 两角和与差的正切公式的应用 角度1　应用两角和、差正切公式求值 [例1] 已知sin α=,cos β=-,α,β均为第二象限角,求tan(α-β)的值. 解:因为sin α=,cos β=-,α,β均为第二象限角,所以cos α=-=-,sin β==, 所以tan α==-,tan β==-, 所以tan(α-β)==. 已知角α,β的三角函数值,求解形如tan(α±β)的值时,可先求出tan α,tan β,再利用两角和与差的正切公式求解. 针对训练1:已知sin α=,且α为第二象限角,求tan(α+)的值. 解:因为sin α=,且α为第二象限角, 所以cos α=-,tan α=-, tan(α+)===. 角度2　角变换与和、差角正切公式的应用 [例2] 已知0<α<β<π,且cos(α-β)=,tan β=,求tan α的值. 解:因为0<α<β<π,所以-π<α-β<0, 因为cos(α-β)=, 所以sin(α-β)=-, 所以tan(α-β)==-, 所以tan α=tan[β+(α-β)]===. (1)使用两角和、差正切公式求解“给值求值”问题时,若已知条件中的三角函数值中的角有两个或多个时,常利用角的变换,将待求角表示为其中的“已知角”的和或差的形式后求解. (2)常见的角的代换关系. α=(α+β)-β=β-(β-α),α=[(α+β)+(α-β)]=[(β+α)-(β-α)],=(α-)-(-β). 针对训练2:已知tan(α-)=,tan(+β)=,则tan(α+β)等于(　　) A. B. C.- D. 解析:依题意tan(α+β)=tan [(α-)+(+β)] = ==.故选A. 角度3　正切公式变形式的应用 [例3] 计算:tan 20°tan 30°+tan 30°tan 40°+tan 20°·tan 40°. 解:原式=tan 30°(tan 20°+tan 40°)+tan 20°·tan 40° =tan(20°+40°)(1-tan 20°tan 40°)+tan 20°·tan 40° =×(1-tan 20°tan 40°)+tan 20°tan 40° =1-tan 20°tan 40°+tan 20°tan 40°=1. (1)当已知条件式或待求式中含两个角的正切的积或两角的正切和、差时,首先考虑两角和、差正切公式的变形,tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). (2)化简过程中注意“1”与“tan ”,“”与“tan ”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化. 针对训练3:计算:(1+tan 17°)(1+tan 28°). 解:原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°tan 28°, 又tan(17°+28°)==tan 45°=1, 所以tan 17°+tan 28°=1-tan 17°tan 28°, 故(1+tan 17°)(1+tan 28°)=2. 给值求角 [例4] (1)在△ABC中,tan A=,tan B=-2,则角C=　　　　;  (2)若α,β均为钝角,且(1-tan α)(1-tan β)=2,则α+β=　　　　.  解析:(1)tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=-=1. 又因为0<C<π,所以C=. (2)因为(1-tan α)(1-tan β)=2, 所以1-(tan α+tan β)+tan αtan β=2, 所以tan α+tan β=tan αtan β-1, 所以tan(α+β)==-1. 因为α,β∈(,π),所以α+β∈(π,2π), 所以α+β=. 答案:(1)　(2) (1)给值求角问题的步骤. ①求所求角的某个三角函数值; ②确定所求角的范围(范围过大或过小,会使求出的角不合题意或漏解),根据范围找出角. (2)选取函数的原则是函数在角的区间上严格单调,具体方法如下: ①已知正切函数值,选正切函数; ②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是(0,),选正弦或余弦函数均可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围是(-,),选