5.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 学习目标 1.通过利用y=sin x,y=cos x的图象,探索其周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最值,提升直观想象的核心素养. 2.通过正弦函数、余弦函数的性质的运用,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 第1课时　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 1.周期函数 (1)周期函数的概念. 条件 ①对于函数f(x),存在一个非零常数T ②当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x) 结论 函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期 (2)最小正周期. 条件 周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 结论 这个最小正数叫做f(x)的最小正周期 2.正弦函数、余弦函数的图象与性质 函数 正弦函数 余弦函数 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期为2π 最小正周期为2π 奇偶性 奇函数 偶函数 对称轴 x=+kπ(k∈Z) x=kπ(k∈Z) 对称中心 (kπ,0)(k∈Z) (+kπ,0)(k∈Z) 正、余弦函数的周期性 [例1] 求下列函数的周期. (1)f(x)=cos(2x+); (2)f(x)=|sin x|. 解:(1)因为f(x)=cos(2x+)=cos(2x++2π) =cos[2(x+π)+]=f(x+π), 即f(x+π)=f(x), 所以函数f(x)=cos(2x+)的周期T=π. (2)法一(定义法) 因为f(x)=|sin x|, 所以f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x), 所以f(x)的周期为π. 法二(图象法) 因为函数y=|sin x|的图象如图所示. 由图象可知周期T=π. 求三角函数周期的方法 (1)定义法,即利用周期函数的定义求解. (2)公式法,对形如y=Asin(ωx+)或y=Acos(ωx+)(A,ω,是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=. (3)观察法,即通过观察函数图象求其周期. 提醒:y=|cos x|与y=|sin x|均是周期为π的周期函数,而y=cos |x|是周期为2π的周期函数,y=sin |x|则不是周期函数. 针对训练1:求下列函数的周期. (1)y=sin; (2)y=cos(-4x); (3)y=3cos(+); (4)y=sin x+|sin x|. 解:(1)周期是T==3π. (2)周期是T==. (3)周期是T==6π. (4)y= 作出函数图象如图所示, 由图象知,该函数周期为T=2π. 正、余弦函数的奇偶性 [例2] 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=cos(2x+); (2)f(x)=sin(2x+); (3)f(x)=|sin x|+cos x; (4)f(x)=. 解:(1)f(x)=sin 2x,定义域为R. 因为∀x∈R,都有-x∈R, 又f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x), 所以函数f(x)=cos(2x+)是奇函数. (2)因为f()=sin(2×+)=sin =1, f(-)=sin(-2×+)=sin(-)=-, 所以f(-)≠-f(),且f(-)≠f(), 所以函数f(x)=sin(2x+)既不是奇函数也不是偶函数. (3)函数f(x)的定义域为R, 因为∀x∈R,都有-x∈R, 又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x), 所以函数f(x)=|sin x|+cos x是偶函数. (4)函数f(x)的定义域为D={x|x≠2kπ+,k∈Z}, 不满足∀x∈D,都有-x∈D. 故函数f(x)=既不是奇函数也不是偶函数. (1)判断函数奇偶性时,必须先检查定义域是否关于原点对称,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数必为非奇非偶函数. (2)若函数y=Asin(ωx+)(A,ω≠0,下同)为奇函数,则=kπ(k∈Z);若为偶函数,则=kπ+(k∈Z).若函数y=Acos(ωx+)为奇函数,则=kπ+(k∈Z);若为偶函数,则=kπ(k∈Z). 针对训练2:判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=sin[(x+)]; (2)f(x)=+; (3)f(x)=sin x+cos x; (4)f(x)=. 解:(1)f(x)=sin(x+)=cosx,定义域为R. 因为∀x∈R,都有-x∈R. 又由f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x), 所以函数f(x)是偶函数. (2)由得cos x=1, 所以函数的定义域为D={x|x=2kπ,k∈Z},因为∀x∈D,都有-x∈D, 且当cos x=1时,f(-x