5.3 诱导公式-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

5.3　诱导公式 学习目标 1.借助单位圆的对称性,利用三角函数的定义推导诱导公式,提升逻辑推理、直观想象的核心素养. 2.通过诱导公式的应用,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 1.诱导公式二、三、四 (1)诱导公式二. ①角π+α与角α的终边关于原点对称,如图所示. ②公式:sin(π+α)=-sin α,  cos(π+α)=-cos α,  tan(π+α)=tan α.  (2)诱导公式三. ①角-α与角α的终边关于x轴对称,如图所示. ②公式:sin(-α)=-sin α,  cos(-α)=cos α,  tan(-α)=-tan α.  (3)诱导公式四. ①角π-α与角α的终边关于y轴对称,如图所示. ②公式:sin(π-α)=sin α,  cos(π-α)=-cos α,  tan(π-α)=-tan α.  2.诱导公式五、六 (1)诱导公式五. ①角-α与角α的终边关于直线y=x对称,如图所示. ②公式:sin(-α) =cos α,  cos(-α) =sin α.  (2)诱导公式六. ①公式五与公式六中角的联系为+α=π-(-α). ②公式:sin(+α)=cos α,  cos(+α)=-sin α.  利用诱导公式求值 角度1　给角求值 [例1] 求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°; (2)sin; (3)sin(-); (4)cos(-1 920°). 解:(1)cos 210°=cos(180°+30°) =-cos 30° =-. (2)sin=sin(2π+) =sin =sin(π-) =sin =. (3)sin(-) =-sin(6π+) =-sin =-sin(π+) =sin =. (4)cos(-1 920°)=cos 1 920° =cos(5×360°+120°) =cos 120° =cos(180°-60°) =-cos 60° =-. 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 针对训练1:求下列各三角函数式的值. (1)tan ; (2)cos(-); (3)sin(-1 200°); (4)sin 555°+cos(-435°). 解:(1)tan =tan(2π+) =tan =tan(π-) =-tan =-. (2)cos(-) =cos =cos(2π+) =cos =. (3)sin(-1 200°)=-sin 1 200° =-sin(3×360°+120°) =-sin 120° =-sin(180°-60°) =-sin 60° =-. (4)因为sin 555°=sin(360°+180°+15°) =sin(180°+15°) =-sin 15°, cos(-435°)=cos 435° =cos(360°+75°) =cos 75° =cos(90°-15°) =sin 15°, 所以原式=-sin 15°+sin 15°=0. 角度2　给值求值 [例2] (1)已知cos(75°+α)=,求cos(105°-α)+sin(15°-α)的值; (2)若sin(-α)=,求cos(-α)的值. 解:(1)因为(105°-α)+(75°+α)=180°, (15°-α)+(α+75°)=90°, 所以cos(105°-α)=cos[180°-(75°+α)]=-cos(75°+α)=-, sin(15°-α)=sin[90°-(α+75°)]=cos(75°+α)=, 所以cos(105°-α)+sin(15°-α)=-+=0. (2)因为sin(-α)=, 所以cos(-α)=cos[+(-α)]=-sin(-α)=-. 诱导公式的应用中,利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一,也是高考考查的重点、热点,一般解题步骤为: (1)定关系:确定已知角与所求角之间的关系,一般常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等;常见的互补关系有+α与-α,+α与-α等; (2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式; (3)得结论:根据选择的诱导公式,将已知和未知联系起来,使用整体思想求解. 针对训练2:(1)已知sin(x+)=,求sin(+x)+cos2(-x+)的值; (2)已知sin(-x)=-,且0<x<,求sin(+x),sin(+x)的值. 解:(1)因为sin(x+)=, 所以cos2(x+)=1-()2=, 所以sin(+x)+cos2(-x+)=sin(x++π)+cos2[2π-(x+)]=-sin(x+)+cos2(x+)=-+=. (2)因为0<x<, 所以-<-x<, 所以cos(-x)==, 所以sin(+x)=sin[-(-x)]=cos(-x)=, sin(+x)=sin[π-(