5.2.2 同角三角函数的基本关系-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

5.2.2　同角三角函数的基本关系 学习目标 1.通过单位圆推导同角三角函数的基本关系,提升逻辑推理、直观想象的核心素养. 2.通过同角三角函数基本关系的应用,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系:=tan α(α≠kπ+,k∈Z).  这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切(α≠kπ+,k∈Z). 利用同角三角函数的基本关系求值 角度1　sin α,cos α,tan α知一求二 [例1] (1)若α是△ABC的一个内角,且cos α=-,求sin α,tan α的值; (2)若sin α=,求tan α的值; (3)若tan α=-,求sin α的值. 解:(1)因为α是△ABC的一个内角, 且cos α=-, 所以<α<π, 所以sin α===, 所以tan α===-. (2)因为sin α=>0, 所以α是第一、第二象限角. 当α是第一象限角时,cos α===,此时tan α=; 当α是第二象限角时, cos α=- =-=-, 此时tan α=-. 综上,当α是第一象限角时,tan α=;当α是第二象限角时,tan α=-. (3)因为tan α=-<0, 所以α是第二、第四象限角. 由 可得sin2α=() 2, 因此,当α是第二象限角时,sin α=;当α是第四象限角时,sin α=-. 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法 (1)已知角α的某一个三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系; (2)若角α所在的象限已经确定,求另两个三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果. (3)记住常见的“勾股数”,如6,8,10;5,12,13;8,15,17等,可以方便解题. 针对训练1:(1)已知sin α=-,且α是第四象限角,求cos α,tan α的值; (2)已知tan α=-2,求cos α,sin α. 解:(1)因为sin α=-,且α是第四象限角,所以cos α>0, 所以cos α===, tan α===-. (2)由已知,得 解得或 角度2　已知正切值求值 [例2] 已知=2,求下列各式的值. (1); (2); (3)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α. 解:由=2,得tan α=2. (1)===-1. (2)===. (3)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α = = = ==1. 已知角α的正切值,求由sin α和cos α构成的代数式的值,构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式. (1)形如的分式,可将分子、分母同时除以cos α;形如的分式,可将分子、分母同时除以cos2α,将正、余弦转化为正切求值. (2)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α(a,b,c不全为0)的齐次式,可以将分母看作是1=sin2α+cos2α,转化为的分式求值. 注意:涉及常数时,如sin2α+k,则将k转化为ksin2α+kcos2α后转化为(2)的形式,但涉及(k,t为常数),则需转化为(1)求解. 针对训练2:已知tan α=3,求下列各式的值. (1); (2); (3)cos2α-3sin αcos α. 解:(1)由于tan α=3, 故==. (2)==. (3)cos2α-3sin αcos α===-. 角度3　sin α±cos α,sin αcos α型求值问题 [例3] 已知sin α+cos α=-,0<α<π. (1)求sin αcos α的值; (2)求sin α-cos α的值. 解:(1)因为sin α+cos α=-,所以(sin α+cos α)2=, 所以sin2α+2sin αcos α+cos2α=,所以1+2sin αcos α=, 所以sin αcos α=-. (2)因为0<α<π,sin αcos α<0, 所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0. 又(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=, 所以sin α-cos α=. 已知sin α±cos α,sin αcos α求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解,涉及的三角恒等式有: (1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2; (4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α. 上述三角恒等