5.1.2 弧度制-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

5.1.2　弧度制 学习目标 1.借助圆建立弧度制的概念,提升数学抽象、直观想象的核心素养. 2.应用弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 1.角的单位制及换算关系 (1)角的单位制. ①角度制. 规定周角的为1度的角,用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. ②弧度制. 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制,它的单位符号是rad,读作弧度. ③角的弧度数的求法. 在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么|α|=. 一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0. (2)角度与弧度的换算. 角度化弧度 弧度化角度 360°=2π rad 2π rad=360° 180°=π rad π rad=180° 1°= rad≈ 0.017 45 rad 1 rad=()°≈57.30° 度数×=弧度数 弧度数×()°=度数 (3)一些特殊角与弧度数的对应关系. 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 弧度 0 度 135° 150° 180° 270° 360° — 弧度 π 2π — 2.弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 度量制 公式 弧长公式 扇形面积公式 角度制 l= S= 弧度制 l=α·R (0<α<2π) S=lR=αR2 (0<α<2π) 3.若扇形的周长为定值,则当扇形中心角为2弧度时,扇形面积有最大值. 弧度制的概念 [例1] 下列说法正确的是(　　) A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 解析:对于A,根据弧度的定义知,“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”,故A正确;对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误;对于C,只有在同圆或等圆中,1弧度的圆心角所对的弧长是相等的,故C错误;对于D,用弧度表示的角也可以是负角或零角,故D错误.故选A. (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的. (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系. (3)求一个角的弧度数先求这个角的弧度数的绝对值,然后结合角的正负写出这角的弧度数. 针对训练1:一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数为(　　) A. B. C. D. 解析:设圆内接正方形的边长为a,则该圆的直径为a,半径为r=a,又弧长l=a,所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角为α===.故选C. 角度与弧度的换算 [例2] 将下列角度与弧度进行互化. (1)20°;(2)-800°;(3);(4)-. 解:(1)20°=20× rad= rad. (2)-800°=-800× rad=- rad. (3) rad=×180°=105°. (4)- rad=-×180°=-396°. 在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到:度数×=弧度数,弧度数×()°=度数. 提醒:用弧度表示角,涉及π时,直接保留π,不要将π写成小数. 针对训练2:将下列角度与弧度进行互化. (1);(2)-;(3)10°;(4)-855°. 解:(1) rad=×180°=15 330°. (2)- rad=-×180°=-75°. (3)10°=10×= rad. (4)-855°=-855×=- rad. 弧度制的综合应用 [例3] 在平面直角坐标系中,α=-,β的终边与α的终边分别有如下关系时,求β. (1)若α,β的终边关于x轴对称; (2)若α,β的终边关于y轴对称; (3)若α,β的终边关于原点对称. 解:如图,在平面直角坐标系中,α=-. (1)若α,β的终边关于x轴对称,则{β|β=+2kπ,k∈Z}. (2)若α,β的终边关于y轴对称,则{β|β=-+2kπ,k∈Z}. (3)若α,β的终边关于原点对称,则{β|β=+2kπ,k∈Z}. (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍. (2)在同一个式子中,角度与弧度不能混合用,必须保持单位统一,如α=2kπ+30°,k∈Z是不正确的写法. 针对训练3:若角β的终边落在直线y=-x上,写出角β的集合;当β∈(-2π,2π)时,求角β. 解:终边落在直线y=-x上的角β组成的集合A={β|β=kπ+,k∈Z}. 因为β∈(-2π,2π),则当k=-2,-1,0,1时,符合题意, 所以β=-,-,,. 扇形的弧长公