5.1.1 任意角-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

5.1　任意角和弧度制 5.1.1　任意角 学习目标 1.通过角的概念的推广过程,提升数学抽象、直观想象的核心素养. 2.通过象限角及终边相同的角的应用,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 1.角的概念与加减运算 (1)角的概念. ①角的概念:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. ②角的分类:按旋转方向可将角分为三类. 名称 定义 图形 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 ③相等角:把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角.设角α由射线OA绕端点O旋转而成,角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=β. ④相反角:射线绕其端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角互为相反角. (2)角的加减法运算. ①设α,β是任意两个角.我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β. ②引入正角、负角的概念以后,角的减法运算可以转化为角的加法运算,即α-β可以化为α+(-β).这就是说,各角和的旋转量等于各角旋转量的和. 2.象限角与终边相同的角 (1)象限角. 角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限. (2)终边相同的角. 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 任意角的概念 [例1] 写出下列说法所表示的角. (1)顺时针拧螺丝3圈; (2)将时钟拨慢2小时30分,分针转过的角. 解:(1)顺时针拧螺丝3圈,即旋转了3×360°=1 080°,顺时针旋转得到的角为负角,故转过的角是-1 080°. (2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转,时针拨慢2小时30分,是2.5周角,角度数是2.5×360°=900°;又分针是逆时针旋转,故转过的角是900°. 正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角,顺时针旋转形成一个负角. 针对训练1:经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　) A.60°,720° B.-60°,-720° C.-30°,-360° D.-60°,720° 解析:钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°.故选B. 象限角 [例2] 平面直角坐标系中,以角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的非负半轴,下列说法正确的是(　　) A.第一象限角一定不是负角 B.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 C.第二象限角必大于第一象限角 D.钝角的终边在第二象限 解析:-280°角是第一象限角,且是负角,故A错误;三角形的内角可能为90°,90°角不是第一象限角或第二象限角,故B错误;α=390°为第一象限角,β=120°为第二象限角,此时α>β,故C错误;钝角是大于90°且小于180°的角,它的终边在第二象限,故D正确.故选D. (1)明确规定象限角的前提条件:角的始边为x轴的非负半轴; (2)终边在坐标轴上的角不属于任何一个象限; (3)象限角与正角及负角是角的两种不同的分类.象限角特别指角的终边位置,一般不比较大小. 针对训练2:(多选题)已知A={α|α是第一象限角},B={α|α是锐角},C={α|α是小于90°的角},那么A,B,C的关系是(　　) A.B=A∩C B.B∪C=C C.B∩A=B D.A=B=C 解析:A∩C除了包括锐角,还包括其他角,比如-330°角,故A选项错误;锐角是大于0°且小于90°的角,故B选项正确;锐角是第一象限角,故C选项正确;A,B,C中角的范围不一样,所以D选项错误.故选BC. 终边相同的角的理解 角度1　求与已知角终边相同的角 [例3] 写出与370°23′终边相同的角的集合S,并找出集合中适合不等式-720°≤β<360°的角β. 解:根据题意得, S={β|β=k·360°+370°23′,k∈Z}, 又因为-720°≤β<360°,所以k取-3,-2,-1, 所以所求的角β为-709°37′,-349°37′,10°23′. 在给定的区间内寻找与某特定角α终边相同角的方法 (1)设所求角β=k·360°+α(k∈Z),其中的α就是所给的角; (2)根据所给的区间及k·360°+α(k∈Z),寻找符合条件的整数k的取值,确定β. 针对训练3:在与530°角终边相同的角中,求满足下列条件的角. (