4.5.2 用二分法求方程的近似解-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

4.5.2　用二分法求方程的近似解 学习目标 1.根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,提升数学运算的核心素养. 2.了解二分法的含义及近似思想、逼近思想的应用,提升数学抽象、逻辑推理的核心素养. 1.二分法的定义 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2.二分法求函数零点近似值的步骤 二分法的概念 [例1] 下列函数不能用二分法求零点的是(　　) 解析:观察图象与x轴的交点,若交点附近的函数图象连续,且在交点两侧的函数值符号相异,则可用二分法求零点,而B不能用二分法求零点.故选B. 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用. 针对训练1:(1)如图是函数f(x)的图象,它与x轴有4个不同的公共点.下列四个区间中,存在不能用二分法求出的零点,则该零点所在的区间是(　　) A.[-2.1,-1] B.[4.1,5] C.[1.9,2.3] D.[5,6.1] (2)下列函数中,必须用二分法求其零点的是(　　) A.y=x+7 B.y=5x-1 C.y=log3x D.y=()x-x 解析:(1)C中的零点不是变号零点,不能用二分法求出.故选C. (2)对于A,解方程x+7=0,得x=-7;对于B,解方程5x-1=0,得x=0;对于C,解方程log3x=0,得x=1;对于D,无法通过解方程()x-x=0直接得到零点.故选D. 用二分法求函数零点的近似值 [例2] 求函数f(x)=x2-5的负零点.(精确度为0.1) 解:由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0, 得f(-2)f(-3)<0, 故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间, 用二分法逐次计算,列表如下. 零点所在区间 中点的值 中点函数 近似值 (-3,-2) -2.5 1.25 (-2.5,-2) -2.25 0.062 5 (-2.25,-2) -2.125 -0.484 4 (-2.25,-2.125) -2.187 5 -0.214 8 (-2.25,-2.187 5) -2.218 75 -0.077 1 由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1, 所以函数的一个近似负零点可取-2.25. (1)用二分法求函数的近似零点,合理确定初始区间是关键,能够减少二分的次数. (2)二分法是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,并根据所要求的精确度,用此区间的所有值均可表示零点的近似值. 针对训练2:用二分法求函数y=x3-3的一个正零点.(精确度为0.1) 解:由于f(1)=-2<0,f(2)=5>0,f(1)f(2)<0,因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下. 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 (1,2) 1.5 0.375 (1,1.5) 1.25 -1.046 9 (1.25,1.5) 1.375 -0.400 4 (1.375,1.5) 1.437 5 -0.029 5 (1.437 5,1.5) 1.468 75 0.168 4 从表中可知|1.5-1.437 5|=0.062 5<0.1, 所以函数y=x3-3精确度为0.1的零点可取1.5或1.437 5. 利用二分法求方程的近似解 [例3] 证明方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解.(精确度为0.1) 解:设函数f(x)=2x+3x-6, 因为f(1)=-1<0,f(2)=4>0,f(1)f(2)<0, 又因为f(x)是增函数, 所以函数f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一的零点, 则方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解. 设该解为x0,则x0∈[1,2], 取x1=1.5,f(1.5)≈1.328>0, f(1)f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5); 取x2=1.25,f(1.25)≈0.128>0, f(1)f(1.25)<0,所以x0∈(1,1.25); 取x3=1.125,f(1.125)≈-0.444<0, f(1.125)f(1.25)<0, 所以x0∈(1.125,1.25); 取x4=1.187 5,f(1.187 5)≈-0.160<0, f(1.187 5)f(1.25)<0, 所以x0∈(1.187 5,1.25).